Решение систем линейных уравнений.

Задача.

Решить систему уравнений

Решение.

1. Проверяем порядок следования неизвестных. Если он нарушен, уравнения надо переписать так, чтобы одинаково обозначенные переменные были друг под другом, а свободные члены уравнения находились в правой части (за знаком равенства).

2. Выбираем метод решения. Рекомендую остановиться либо на формулах Крамера, либо на методе Гаусса.

Формулы Крамера.

3. Записываем матрицу системы, считая что отсутствующая переменная входит в уравнение с коэффициентом 0.

4. Вычисляем определитель матрицы системы. Так как определитель имеет размер 3х3, его можно вычислить
a) по одной из мнемонических схем, например, по правилу треугольников, либо
б) по определению - разложением по элементам любой строки или столбца, либо
в) используя свойства определителя, свести его к треугольному или диагональному виду.

Здесь использую разложение по третьей строке:
Так как определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам

x_i = Δ_iΔ—,

где Δ_i - определитель матрицы, полученной из главной матрицы системы заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Вычисляем эти определители:

Вычисляем неизвестные:

x₁ = Δ₁Δ— = 15-5— = -3,   x₂ = Δ₂Δ— = -10-5—– = 2  , x₃ = Δ₃Δ— = -25-5—– = 5.

Ответ: (–3; 2; 5)

Метод Гаусса.

3. Записываем расширенную матрицу системы, считая что отсутствующая переменная входит в уравнение с коэффициентом 0, а свободные члены уравнения составляют дополнительный столбец.

Преобразуем её по строкам к ступенчатому виду.

(1) Элементы 2-ой строки сложили с элементами 3-ей строки и поместили вместо 3-ей. Образовалась строка, которая начинается с единицы.
(2) Поменяли местами 1-ю и 3-ю строки, чтобы вынести "хорошую" строку вверх.
(3) 1-я строка, умноженная на 2 прибавлена к 2-ой. И 1-я строка, умноженная на (−6) прибавлена к 3-ей. Образовался первый столбец ступенчатого вида.
(4) 2-ю строку, умноженную на 2 прибавили к 3-ей.
(5) Поменяли местами 2-ю и 3-ю строки. Первый слева ненулевой (опорный) элемент 2-ой строки стал равен единице.
(6) 2-ю строку, умноженную на 15 сложили с 3-ей, записали вместо 3-ей.
(7) 3-ю строку разделили на (−5). Получили матрицу ступенчатого вида.
Можно снова вернуться к записи в виде системы уравнений и решать её, начиная с самого простого уравнения, т.е. снизу вверх. Но лучше довести дело до конца методом элементарного преобразования строк. Суть дальнейших действий состоит в том, чтобы теперь использовать нижние строки для преобразования верхних так, чтобы над первыми справа единицами получить столбики нулей.

Обратный ход метода Гаусса.

(1) 3-ю строку сложили со 2-ой, результат поместили во 2-ю строку. И 3-ю строку, умноженную на (−4), прибавили к 1-ой строке.
(2) 2-ю строку, умноженную на 5 прибавили к 1-ой.
Левее вспомогательной вертикальной черты получили диагональную матрицу. Это означает, что если теперь вернуться к системе уравнений, то в каждом из них будут отсутствовать все неизвестные, кроме одного:

	x1			=	−3
		x2		=	2
			x3	=	5

Таким образом ответ получен.