Приложение производной: интервалы монотонности и экстремумы функции.

Задача.

Найти экстремумы функции y = x³·(x – 1).

Решение.

Экстремумы функции - это её максимумы и минимумы. Прежде чем находить экстремальные значения функции, нужно найти значения аргумента, в которых они достигаются, т.е. точки экстремумов.

В точке экстремума производная функции равна нулю.
Находим производную:
1) по правилу дифференцирования произведения:
y' = (x³)'·(x – 1) + x³·(x – 1)';
2) по таблице производных:
(x³)' = 3x²,
(x – 1)' = 1 – 0;
3) преобразуем:
y' = 3x²·(x – 1) + x³·(1 – 0) = 3x³ – 3x² + x³ = 4x³ – 3x².

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение относительно x:
4x³ – 3x² = 0;
x²·(4x – 3) = 0.
Здесь корни легко определяются разложением на множители - произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
x₁ = 0 и x₂ = 3/4 = 0,75.

На числовой прямой отмечаем найденные значения аргумента x. В этих точках производная функции равна нулю. Между ними (на интервалах) она сохраняет знак "+" или "–". Чтобы определить положительна или отрицательна производная функции на конкретном интервале, подставляем в формулу для производной произвольное значение из этого интервала.
y' = 4x³ – 3x²;
y' (–1) = 4(–1)³ – 3(–1)² = – 4 – 3 < 0;
y' (0,5) = 4·(0,5)³ – 3·(0,5)² = 0,5 – 0,75 < 0;
y' (1) = 4·1³ – 3·1² = 4 – 3 > 0.

Таким образом, точки, в которых производная равняется нулю, разбили числовую прямую на три интервала. В первом и втором из них производная отрицательна, в третьем положительна. Отмечаем это на числовой прямой.

Функция возрастает на интервале, если её производная на этом интервале положительна, и убывает, если производная отрицательна. Отметим это стрелочками с соответствующим наклоном, соотнося их со знаками производной.

Получили следующую схему:


По схеме видно, что в точке x₁ = 0 экстремума нет, функция убывает и правее, и левее этой точки. В точке x₂ = 0,75 функция меняет характер монотонности с убывания на возрастание, значит эта точка является точкой минимума.

Определяем минимальное значение функции:
y = x³·(x – 1);
y(0,75) = (0,75)³·(0,75 – 1) = –0,10546875 ≈ –0,11.

Ответ: y_min ≈ –0,11.