Объем произведенной продукции - интегральный (суммарный) показатель производства. Если функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени, тогда объем продукции Q(t1,t2), за промежуток времени с момента t1 до момента t2, вычисляется по формуле
,
т.е. через определенный интеграл.
В нашем случае
.
По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл вычисляется через приращение первообразной
.
Чтобы вычислить первообразную (или неопределенный интеграл) сначала воспользуемся свойством показательной функции 2m + n = 2m·2n, чтобы упростить подинтегральное выражение, а затем свойствами линейности интеграла:
1) интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности интегралов;
2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Первый интеграл табличный. Для вычисления второго сделаем замену переменных
x = –0,5t, откуда
t = –2x; dt = –2dx;
при t1 = 2 x1 = –1;
при t2 = 3 x2 = –1,5.
Получим
Ответ: Q3 ≈ 18,5
PS: См. также Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш.