Дифференциальные уравнения (основные понятия).

Задача.

Выяснить, является ли функция

решением дифференциального уравнения
.

Решение.

Находим производную функции, заданной условием задачи:
.

При проведении вычислений использовались:
правило дифференцирования суммы функций (u + v) = u' + v' ,
свойство степенной функции
и формулы из таблицы производных x' = 1 и (xⁿ)' = n·x^n–1.

Получили
.

Подставляем это выражение для производной в дифференциальное уравнение


И преобразуем его так, чтобы тождество стало очевидным.

Для этого умножим обе части равенства на минус x
,
перенесём x в другую часть равенства

и выразим y через x

Получили
,
что полностью совпадает с выражением для функции в условии задачи. Таким образом, тождество доказано и заданная функция является решением заданного дифференциального уравнения.