Случайные величины: числовые характеристики распределения.

Задача.

Дискретная случайная величина задана рядом распределения

xi 4 1 0 2 6 10
pi 0,1 0,16 0,3 0,25 0,15 0,04

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение.

Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется как сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений.

M(X) = Σ xi pi i = 1n = x1 p1 + x2 p2 +  ... + xn pn

Математическое ожидание фактически является взвешенной средней всех значений случайной величины x1, x2, ... , xn с весами p1, p2, ... , pn.

Вычисляем:

M(X) = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 + x5 p5 + x6 p6 =
= 4×0,1 + 1×0,16 + 0×0,3 + 2×0,25 + 6×0,15 + 10×0,04 =
= 0,4 + 0,16 + 0 + 0,5 + 0,9 + 0,4 = 2,36.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = M[X − M(X)]2. Дисперсия является характеристикой рассеяния случайной величины относительно её средневзвешенного значения.

Дисперсия дискретной случайной величины находится по формуле

D(X) = Σ [xi − M(X)]2· pi i = 1n = (x1 − M)2· p1 + (x2 − M)2· p2 +  ... + (xn − M)2· pn

Во второй половине формулы М(X) для краткости обозначена одним символом M.
У нас M = M(X) = 2,36.
Вычисляем дисперсию:

D(X) = (x1 − 2,36)2· p1 + (x2 − 2,36)2· p2 + (x3 − 2,36)2· p3 + (x4 − 2,36)2· p4 + (x5 − 2,36)2· p5 + (x6 − 2,36)2· p6 =

= (4 − 2,36)2·0,1 + (1 − 2,36)2·0,16 + (0 − 2,36)2·0,3 + (2 − 2,36)2·0,25 + (6 − 2,36)2·0,15 + (10 − 2,36)2·0,04 =

= 1,642·0,1 + (−1,36)2·0,16 + (−2,36)2·0,3 + (−0,36)2·0,25 + 3,642·0,15 + 7,642·0,04 =

= 0,26896 + 0,295936 + 1,67088 + 0,0324 + 1,98744 + 2,334784 = 6,5904.

Ответ: M(X) = 2,36; D(X) = 6,5904.