Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Задача.

Найти собственные значения линейного оператора А, заданного матрицей

	2	4
	3	1

Решение.

Чтобы найти собственные значения оператора, заданного матрицей, нужно решить характеристическое уравнение вида |A − λE| = 0, т.е. вычислить определитель

2 − λ	4
3	1 − λ

и приравнять его нулю.

Решаем уравнение
(2 − λ)·(1 − λ) − 3·4 = 0
2 − λ − 2λ + λ² − 12 = 0
λ² − 3λ − 10 = 0.

Это квадратное уравнение, которое можно решать через дискриминант или по теореме Виета.

Решаем через дискриминат
D = b² − 4ac = (−3)² − 4·1·(−10) = 9 + 40 = 49;
√D = 7;
λ₁ = (− b + √D)/(2a) = (3 + 7)/2 = 5;
λ₂ = (− b − √D)/(2a) = (3 − 7)/2 = −2.

Корни этого уравнения и являются собственными значениями оператора.

Ответ: λ₁ = 5, λ₂ = −2.