Задание 14: решение неравенств
методом интервалов.

Рассмотрим следующую задачу

Фактически, здесь мы должны определить знак дробного выражения. То есть при каких значениях переменной результат деления является положительным. Очевидно, это будет в случае, когда знаки числителя и знаменателя совпадают. Таким образом, нужно рассмотреть два случая: И числитель, И знаменатель положительны, ИЛИ И числитель, И знаменатель отрицательны. Это приводит нас к совокупности двух систем неравенств.

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^3-3x^2-x+3 >0,} \\ {x^2+3x+2 >0} \hfill \\ \end{array} } \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x^3-3x^2-x+3 <0,} \\ {x^2+3x+2 <0 }\hfill \\ \end{array} } \right.} \\ \end{array} } \right. \]

Числитель строго больше (меньше) нуля, потому что исходное неравенство строгое. Знаменатель строго больше (меньше) нуля, потому что выражение имеет ограниченную область допустимых значений переменной (ОДЗ).

Далее можно решать системы неравенств. И в итоге найти объединение множеств их решений. Примеры можно посмотреть здесь.

Однако существует более быстрый способ решения дробно-рациональных неравенств. Он особенно хорош, если выражения являются знакоопределенными или раскладываются на линейные множители, т.е. содержащие \(x\) только в первой степени. И называется этот способ

Метод интервалов.

Алгоритм решения неравенств этим методом рассмотрим на данном примере.
1. Разложим многочлены числителя и знаменателя на множители. Начнем с квадратного трехчлена, т.к. он может не иметь корней и, соответственно, не раскладываться на множители. В этом случае очень упростится первый подход - совокупность двух систем неравенств, и, возможно, мы к нему вернемся.
Разложить квадратный трёхчлен на множители можно разными способами. Чаще всего используются группировка с вынесением общих множителей за скобки или формула, включающая корни соответствущего квадратного уравнения: \( ax^2+bx+c = a(x = x_1)(x-x_2).\)
Для разнообразия знаменатель разложим вторым способом, тем более, что уравнение здесь легко решить устно по теореме Виета. \[ x^2+3x+2 = 0 \\ x_1 = -1; x_2 = -2.\\ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) \] Числитель разложим на множители группировкой и вынесением общего множителя за скобку \[ x^3-3x^2-x+3 = (x^3-3x^2) + (-x+3) = x^2(x-3) - (x-3) = (x-3)(x^2-1) \] Далее применим формулу сокращенного умножения \[(x-3)(x^2-1)= (x-3)(x-1)(x+1)\] Таким образом заданное в условии неравенство равносильно следующему $$ \frac {(x-3)(x-1)(x+1)} {(x+1)(x+2)} > 0. $$ Сразу возникает вопрос: "Можно ли сократить дробь на множитель (х + 1)?" НЕТ! Почему? Рано. Применяя метод интервалов, мы еще не подумали о такой важной вещи как ОДЗ. Поэтому пока обе скобки оставляем.

Как и прежде, нас интересует знак дроби, поскольку мы сравниваем её возможные значения с нулём. Но теперь мы можем определить его на промежутках числовой оси с помощью графической схемы.

2. Каждый множитель (каждую скобку) приравниваем нулю. Полученные значения переменной отмечаем на числовой оси.

Договоримся пустыми кружочками изображать на оси граничные точки интервалов, которые не войдут в решение неравенства, и заполненными кружочками те из них, которые войдут. Очевидно, нельзя брать в ответ те значения переменной х, которые обращают в нуль знаменатель. Это и будет ОДЗ.
Заданное неравенство является строгим, поэтому не войдут в решение и те точки, которые обращают в нуль числитель нашей дроби. Их тоже обозначим пустыми кружочками.

Можно ли теперь, когда мы вспомнили про ОДЗ, сократить дробь? Да, но ... После сокращения она не будет обращаться в ноль и не будет менять знак при х = −1. Следовательно, эта точка на числовой оси является особенной. Отметим это каким-нибудь значком, например, поставим восклицательный знак на схеме, и только теперь сократим дробь. $$ \frac {(x-3)(x-1)} {(x+2)} > 0. $$

3. Определим знак дроби при каком-нибудь простом значении х, таком чтобы легко было считать. Например, пусть х = 0. $$ \frac{(0-3)(0-1)}{(0+2)} = \frac{3}{2} > 0. $$ Так как получилось положительное значение выражения, то над интервалом, содержащим это значение х, поставим знак "+".

Далее переходя от интервала к интервалу чередуем знаки "+" и "−", но не меняем знак в точке х = −1, т.к. после сокращения такого множителя в окончательной дроби в явном виде нет, т.е. это значение не влияет на смену знака выражения.
Для наглядности обведем наши интервалы кривой линией, располагающейся выше оси, если знак "+", и ниже, если "−".

Теперь легко записать окончательный ответ для неравенства. Дробь положительна и неравенство выполняется на тех интервалах, которые на схеме отмечены знаком "+".

Ответ: x ∈ (−2;−1) ∪ (−1;1) ∪ (3; +∞).

Решение.

Перенесём все члены выражения в левую часть неравенства и приведём дроби к общему знаменателю. \[ (x^2 - 2x)(x-1)- \frac{9x-9}{x^2 - 2x} ≤ 0;\\ \frac{(x^2 - 2x)(x - 1)\cdot(x^2 - 2x) - (9x-9)} {x^2 - 2x} ≤ 0. \]

Теперь требуется получившуюся дробь (одну) сравнить с нулём. Чтобы сделать это методом интервалов числитель и знаменатель дроби нужно разложить на множители.
В знаменателе достаточно вынести за скобку общий множитель \(x: \; x^2 - 2x = x(x-2).\) Второй сомножитель тоже оказался линейным.
Разложение числителя также начнём с вынесения общих множителей за скобки. Затем применим формулы сокращенного умножения. \[ (x^2 - 2x)(x - 1)\cdot(x^2 - 2x) - (9x-9) = (x^2 - 2x)^2(x-1) - 9(x-1) = \\ = (x-1)\left((x^2 - 2x)^2 - 3^2\right)=(x-1)(x^2 - 2x-3)(x^2 - 2x+3). \] Два последних сомножителя нелинейны. Они оказались квадратными трёхчленами. Если трёхчлены имеют корни, то разложение можно продолжить. Для этого нужно решить квадратные уравнения.

Уравнение \(x^2 - 2x - 3 = 0\) легко решается по теореме Виета: \(x_1 = -1;\; x_2 = 3\), поэтому \[ x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3).\] Уравнение \(x^2 - 2x + 3 = 0\) не имеет корней: \( D = 4 - 12 < 0\). Следовательно \( (x^2 - 2x + 3) \) на линейные множители не раскладывается и ни при каких значениях переменной не обращается в ноль.

В итоге имеем неравенство, преобразованное к следующему виду.

\[ \frac{(x-1)(x+1)(x-3)(x^2 - 2x+3)}{x(x-2)} ≤ 0.\] Каждый множитель (каждую скобку) приравниваем к нулю, чтобы определить граничные значения переменной \(x\): \[ (x-1) = 0;\; x = 1;\\(x+1)=0;\; x =-1; \\(x-3)=0;\; x = 3;\\(x^2 - 2x+3)\ne 0;\;\\x = 0;\\(x-2)=0;\; x = 2.\] Полученные значения отмечаем на числовой оси.

Точки, в которых обращается в ноль знаменатель, отмечаем пустыми кружочками. Эти значения не должны включаться в ответ.
Точки, в которых обращается в ноль числитель, отмечаем заполненными кружочками. Эти значения будут входить в итоговое множество, так как неравенство нестрогое (≤), т.е. допускает равенство.

Множитель \((x^2 - 2x+3)\) не повлиеят на решение неравенства, т.к. он знакопостоянный. Мы уже выяснили это, пытаясь решить квадратное уравнение, чтобы разложить на множители квадратный трёхчлен. Остальные множители линейны и различны. Поэтому достаточно определить знак дроби в одном из наших интервалов, на всей оси эти знаки будут чередоваться. Пусть, например, \(x = 5.\) \[ \frac{(5-1)(5+1)(5-3)(5^2 - 2\cdot5+3)}{5(5-2)} = \frac{864}{15} = 57,6 > 0.\] \(5 \in [3;\infty),\) следовательно в этом интервале дробь имеет положительное значение. Ставим над интервалом знак "+", далее чередуем.

В ответ включаем интервалы отмеченные знаком "−" и граничные точки, отмеченные заполненными кружочками.

Ответ: x ∈ (−∞; −1] ∪ (0;1] ∪ (2;3].

Проверьте себя.

А теперь попробуйте решить неравенство самостоятельно, затем проверить ответ нажатием на кнопку.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.