Решение логарифмических неравенств.

Логарифмические неравенства в задании 14 профильного уровня ЕГЭ по математике встречаются чаще других. Это связано, в первую очередь, с тем, что выражения с логарифмом имеют ограниченную область допустимых значений, причём задаваемую также неравенством. Последнее обстоятельство приводит к тому, что решение логарифмического неравенства во многих случаях сводится к решению систем алгебраических неравенств (рациональных и не только).

В этом разделе рассмотрены типовые логарифмические неравенства – простейшие и соответствующие профильному уровню ЕГЭ. Все неравенства даны с решениями и комментариями, поэтому будут полезны и при текущем изучении или повторении этой темы.

Основные положения и примеры решения простейших логарифмических неравенств.

С этим разделом могут ознакомиться и выпускники, которые планируют сдавать экзамен по математике на базовом уровне.
На профильном экзамене встречаются более сложные неравенства, но их также тем или иным образом требуется сводить к простейшим.

К простейшим относятся логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную переменную в составе аргумента логарифмической функции с фиксированным основанием, т.е. это неравенства вида \(log_a{f(x)} > \log_a{g(x)}\), где \(a>0,\;a\ne1\) и неравенства, сводящиеся к этому виду.
В более общих случаях неизвестная величина может встречаться и в основании логарифма.

Чтобы решать как логарифмические неравенства, так и логарифмические уравнения, нужно вспомнить определение и свойства логарифмической функции как таковой.
1) Логарифм – трансцендентная функция, т.е. аналитическая функция, которая не может быть задана с помощью алгебраического уравнения. Поэтому чтобы получить решение простейшего логарифмического неравенства, нужно сначала перейти к алгебраическим соотношениям, т.е. "убрать" логарифм.
2) Логарифм – однозначная и монотонная функция, что означает каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Поэтому её можно сравнивать саму с собой и "вычёркивать" логарифм. Как и в каких случаях это делать, рассмотрим на примерых ниже.
3) Главное – логарифмическая функция имеет ограниченную область определения. Это означает, что при решении любых заданий с логарифмами, содержащими переменные, нужно не забывать про ОДЗ (область допустимых значений) этой переменной.

Итак, Обратите внимание логарифм определен только для положительных чисел. Соответственно, область определения логарифмической функции \(x \in (0;+\infty)\) или проще \(x > 0.\)

Область значений функции E = R – всё множество действительных чисел. Т.е. сам логарифм, в отличие от его аргумента и основания, может принимать любые значения из промежутка \((-\infty; +\infty)\).

Как уже упоминалось, логарифмическая функция монотонна. Посмотрите на её графики.

Поэтому для решения простейших логарифмических неравенств достаточно преобразовать обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием и затем сравнить подлогарифмические выражения. Таким образом мы сравниваем функцию с самой собой при разных значениях её аргумента, т.е. как бы "вычёркиваем" log с обеих сторон неравенства. При этом,
- если основание степени больше единицы, то знак неравенства без "log" будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
- если основание степени меньше единицы, то знак неравенства будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решение.

Область допустимых значений (ОДЗ) выражения \(2x+7>0.\)

Воспользуемся определением логарифма, чтобы представить число −2 в виде значения логарифмической функции с основаением 0,2.

\[0,2^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{1}\right)^{2} = 25,\]
следовательно \(-2 = \log_{0,2}{25},\) и заданное неравенство можно преобразовать к виду \[\log_{0,2}{(2x+7)>\log_{0,2}{25}.}\] Теперь можно "отбросить логарифм", изменив знак неравенства на противоположный, так как его основание 0,2 < 1: \[2x+7<25.\] С учётом ОДЗ получим систему неравенств \[\begin{cases} {2x+7>0,} \\ {2x+7<25;} \hfill \end{cases} \; {\left| {\begin{array}{*{20}c} {x>-3,5,} \\ {x<9; }\hfill \\ \end{array} } \right. } \; \Large{ | } \normalsize{-3,5 < x < 9.} \]

Ответ: \(x \in (-3,5;9).\)

Решение.

Это простейшее неравенство, причём в обеих его частях уже находятся логарифмы с одинаковым основанием, можно "отбросить" и перейти к рациональному неравенству, но пока неясно, как быть со знаком неравенства.
Для этого надо оценить основание. Можно вспомнить, что \(\sqrt2 \approx 1,41; \sqrt3 \approx 1,73; \) и поэтому \[\frac {\sqrt2 + \sqrt3}{3} \approx \frac {1,41+1,73}{3} \approx 1,05.\] Получили: основание больше единицы, следовательно знак неравенства сохраняется \[5 \geqslant 7-x^2; \\x^2\geqslant 2; \;\; \Leftrightarrow \;\; \left[\begin{array}{l} x\geqslant \sqrt2,\\ x\leqslant -\sqrt2. \end{array}\right. \]

Ответ: \(x \in (-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty). \)

Замечание: Если вы не помните примерные значения иррациональных чисел или их нужно оценить точнее, пользуйтесь рекомендациями раздела сайта "Без калькулятора", в частности, страницей сравнение иррациональных выражений с единицей.

Методы решения логарифмических неравенств

Принцип решения других типов логарифмических неравенств состоит в том, что тем или иным образом их нужно свести к простейшим неравенствам, а быть может, и к системам или совокупностям простейших. Чаще всего это делается путём преобразований с использованием свойств логарифмов, введением вспомогательной переменной, разложением выражений на множители или комбинацией всех этих методов.

Решение.

По определению логарифма должны выполняться неравенства \(x+2>0\) и \(2x-6>0\). Это ОДЗ.
Преобразуем неравенство:
\(\text{lg}\;-\) это сокращенное обозначение для десятичного логарифма \(\log_{10}\). Так как \(10^2 = 100,\) то \(2 = \text{lg}{100}\). Далее используем свойства логарифмов \[ \text{lg}{(x+2)}<\text{lg}{100}-\text{lg}{(2x-6)};\\ \text{lg}{(x+2)} + \text{lg}{(2x-6)} < \text{lg}{100};\\ \text{lg}{\left((x+2)(2x-6)\right)}< \text{lg}{100};\\ (x+2)(2x-6)< 100.\] Так как основание логарифма 10>1, то логарифм "отбросили" с сохранением знака неравенства.
Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств \[\begin{cases} x+2>0,\\[1ex] 2x-6>0,\\[1ex] (x+2)(2x-6)<100. \end{cases}\] Обратите внимание: ОДЗ неравенства должно быть записано до того, как начаты преобразования входящих в него выражений. Иначе мы можем потерять знаки или найти "лишние" в процессе вычислений. Сформулируем себе правило. Решаем систему \[\begin{cases} x >-2,\\ 2x>6,\\ 2x^2+4x-6x-12<100; \end{cases}\; {\left|{\begin{array}{l} {x> - 2,}\\ {x>3,}\\ {x^2-x-56<0.} \end{array}}\right.}\] Корни квадратного уравнения находим по теореме Виета: −56 = −7·8; −1 = −(−7 + 8). Итоговый ответ получаем на координатной прямой

Ответ: \(x \in (3; 8). \)

Введение вспомогательной переменной

Чтобы воспользоваться этим приёмом, желательно обеспечить единый вид логарифмических функций во всём неравенстве, поэтому при проведении преобразований нужно стремиться достичь одинаковости оснований и аргументов логарифмов. Посмотрим на примерах.

Решение.

ОДЗ: \(4+3x-x^2 > 0\)

Аргументом обоих логарифмов является один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\), однако основания логарифмов различны – это 2 и 0,5, поэтому нужно воспользоваться свойствами логарифмической функции и привести логарифмы к одному основанию. Поскольку \(0,5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}\), то приводить будем второй логарифм к основанию 2. Для этого используем формулу \(\log_{a^q}b=\frac{1}{q}\log_a{b}\): \[\log_{0,5}{(4+3x-x^2)} = \log_{2^{-1}}{(4+3x-x^2)}=\frac{1}{-1}\log_2{(4+3x-x^2)} = -\log_2{(4+3x-x^2)}\] Теперь неравенство имеет следующий вид \[\log_2^2{(4+3x-x^2)} - 7\log_2{(4+3x-x^2)} +10 > 0.\]

В последнем неравенстве неизвестная величина встречается в обоих слагаемых в совершенно одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.

Пусть \(y = \log_2{(4+3x-x^2)}\), тогда логарифмическое неравенство преобразуется в обычное квадратное неравенство \[y^2 - 7y +10 > 0,\] которое решается графически (через параболу) или методом интервалов. Сделайте это самостоятельно. Ответ получится такой \(y \in (-\infty;2)\cup(5;+\infty)\) или, что то же самое \[\left[{\begin{array}{l} {y < 2,} \\ {y > 5.} \end{array}}\right. \] Последняя запись удобнее для возврата от вспомогательной переменной к логарифму \[\left[{\begin{array}{l} \log_2{(4+3x-x^2)} < 2, \\ \log_2{(4+3x-x^2)} > 5. \end{array}}\right.\] Имеем два простейших неравенства для логарифмов с основанием \(2 > 1\), решаем их \[\log_2{(4+3x-x^2)} < 2 \\ \log_2{(4+3x-x^2)} < \log_2{4} \\ 4+3x-x^2 < 4 \] \[\log_2{(4+3x-x^2)} > 5 \\ \log_2{(4+3x-x^2)} > \log_2{32} \\ 4+3x-x^2 > 32. \] Получившиеся два квадратных неравенства вместе с ОДЗ (не забывать о ней!) образуют совокупность двух систем неравенств, решая которые получим окончательный ответ. \[{\left[{\begin{array}{l} {\begin{cases} 4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 < 4; \end{cases} } \;\; \left|{\begin{array}{l} x^2 -3x-4 < 0, \\ x^2 -3x > 0 ; \end{array}}\right. \\ {\begin{cases} 4+3x-x^2 > 0,\\ 4+3x-x^2 > 32. \end{cases} } \left|{\begin{array}{l} x^2 -3x-4 < 0,\\ x^2 -3x+28 < 0. \end{array}}\right. \end{array}}\right.}\] Решаем эти квадратные неравенства опять же через параболу (см. замечания) или методом интервалов. Так как дискриминант последнего квадратного трёхчлена меньше нуля, он не имеет корней, и, благодаря положительности коэффициента при \(x^2\), неравенство \(x^2 -3x +28 < 0\) не выполняется ни при каких действительных значениях переменной, а вместе с ним не имеет решений и вся вторая система неравенств. Имеем \[{\left[{\begin{array}{l} {\begin{cases} {-1< x <4,}\\ {\left[{\begin{array}{l} x < 0,\\ x > 3; \end{array}}\right.} \end{cases} } \\ {\;\;x \in \varnothing .} \end{array}}\right.}\] Объединяя множества решений совокупностей неравенств (обозначены квадратной скобкой "[") и пересекая множества решений систем неравенств (обозначены фигурной скобкой скобкой "{"), делаем окончательный вывод \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Замечание 1. Чтобы не выписывать совокупности систем и системы совокупностей, особенно, если вы путаетесь в этих скобках, можно все этапы решения реализовать схемами на числовой оси.

Замечание 2. Заметим, что с некоторого момента решение задачи сводится к анализу неравенств, в которых один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\) сравнивается с числовыми значениями. Поэтому дальнейшие действия можно свести к построению одной параболы – эскиза графика функции \(y = 4+3x-x^2\) – и посмотреть как она соотносится с горизонтальными линиями \(y = 0, \; y = 4\; и\; y =32.\) (Вспомните аналогичное задание 2-й части ОГЭ за 9-ый класс.) На это не уйдёт много времени, т.к. коэффициенты трёхчлена целые числа, корни легко вычисляются по теореме Виета, а параболу достаточно построить только по характерным точкам.
Как быстро построить параболу можно посмотреть в видеоуроке на youtube-канале Mathematichka.

Ответ: \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)

Решение.

Выпишем ОДЗ неравенства.
Условие положительности всех аргументов логарифмической функции \[\begin{cases} 64x > 0;\\ x > 0;\\ x^4 > 0 \end{cases}\] сводится к одному требованию \(x > 0\).
Условие неравенства нулю знаменателей всех дробей \[\begin{cases} \log_4{x}−3 \ne 0;\\ \log_4{(64x)} \ne 0;\\ \log^2_4{x}−9 \ne 0\\ \end{cases}\] пока запишем формально, анализировать будем в процессе решения.

В этом примере в отличие от предыдущего, напротив, основания всех логарифмов одинаковы – логарифм по основанию 4, но отличаются аргументы. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражения. \[\log_4{(64x)} = \log_4{64}+\log_4{x}=3+\log_4{x};\\ \log_4{x^4} = 4\log_4{x}.\] Тогда неравенство приобретает вид \[\frac{3+\log_4{x}}{\log_4{x}−3}+\frac{\log_4{x}−3}{3+\log_4{x}}\geqslant\frac{4\log_4{x}+16}{\log^2_4{x}−9},\] где логарифм встречается только в виде \(\log_4{x}\). Введём вспомогательную переменную \(y = \log_4{x}\). \[\frac{3+y}{y−3}+\frac{y−3}{3+y}\geqslant\frac{4y+16}{y^2−9}\] Получили дробно-рациональное неравенство. Дальнейшие преобразования производим с целью упростить и разложить на множители, чтобы решить методом интервалов. \[\frac{(3+y)^2 + (y-3)^2 }{y^2−9} - \frac{4y+16}{y^2−9}\geqslant 0,\\ \frac{9+2y+y^2 + y^2-2y+9 - 4y -16 }{y^2−9}\geqslant 0,\\ \frac{2y^2- 4y+2 }{y^2−9}\geqslant 0,\\ \frac{2(y-1)^2 }{(y+3)(y-3)}\geqslant 0.\] Решение на рисунке.

Учитывая, что до сих пор все преобразования, которые производились, были равносильными, можем утверждать, что выколов точки 3 и −3 из возможных значений переменной \(y\), мы обеспечили неравенство нулю общего знаменателя дроби, а значит и всех дробей, участвовавших в равносильных преобразованиях. Тем самым выполнена вторая часть ограничений ОДЗ неравенства.

Итак, неравенство для переменной \(y = \log_4{x}\) выполняется при \[{\left[{\begin{array}{l} y < -3,\\ y = 1,\\ y > 3; \end{array}}\right.} \; {\left|{\begin{array}{l} \log_4{x} < -3,\\ \log_4{x} = 1,\\ \log_4{x} > 3; \end{array}}\right.} \; {\left|{\begin{array}{l} \log_4{x} < \log_4{\frac{1}{64}},\\ \log_4{x} = \log_4{4},\\ \log_4{x} > \log_4{64}; \end{array}}\right.} \; {\left|{\begin{array}{l} x < \frac{1}{64},\\ x = 4,\\ x > 64. \end{array}}\right.}\] С учётом первого условия ОДЗ \((x>0)\), получаем окончательный ответ

Ответ: \(x \in \left(0; \;\dfrac{1}{64}\right) \cup \{4\} \cup (64;\;+\infty)\).

О разложении на множители

Метод разложения на множители можно применять при решении всех типов неравенств, если произведение этих множителей сравнивается с нулём. Однако для логарифмических неравенств он не очень востребован из-за громоздких выкладок. Кроме того, как правило эти же неравенства другими способами решаются компактнее. Разложение на множители для выражений, содержащих логарифмы, шире применяется при решении уравнений. Поэтому, метод разложения на множители можно сочетать с методом решения неравенства через уравнение. Монотонность логарифмической функции позволяет это делать. Посмотрим пример.

Решение I – разложение на множители.

Эта мысль приходит в голову первой, потому что здесь хорошо видны повторяющиеся сомножители.
ОДЗ: \(x>0.\)\[ \log_3{x}\cdot\log_4{x} - \log_3{x} - \log_4{x} +1 < 0;\\ \log_3{x}\cdot(\log_4{x} - 1) -(\log_4{x} -1) < 0;\\ (\log_4{x} - 1)\cdot(\log_3{x} -1) < 0.\] Произведение двух сомножителей меньше нуля тогда, когда они имеют разные знаки, т.е. либо первый отрицателен, а второй положителен, либо наоборот. Поэтому имеем совокупность двух систем неравенств \[{\left[{\begin{array}{l} {\begin{cases} \log_4{x} - 1 < 0,\\ \log_3{x} - 1 > 0; \end{cases} } \\ {\begin{cases} \log_4{x} - 1 > 0,\\ \log_3{x} - 1 < 0. \end{cases} } \end{array}}\right.}\] Неравенства простейшие. Решаем, как обычно. \[{\left[{\begin{array}{l} {\begin{cases} \log_4{x}< 1,\\ \log_3{x} > 1; \end{cases} } \; \left|\; {\begin{array}{l} { \log_4{x} < \log_4{4},\\ \log_3{x} > \log_3{3}; } \end{array}} \right. \\ {\begin{cases} \log_4{x}> 1,\\ \log_3{x}< 1; \end{cases} } \; \left|\; {\begin{array}{l} { \log_4{x} > \log_4{4},\\ \log_3{x} < \log_3{3}. } \end{array}} \right. \end{array}}\right.}\] Основания обоих логарифмов больше единицы, "вычёркиваем" их из неравенств с сохранением знака. \[{\left[{\begin{array}{l} {\begin{cases} x< 4,\\ x > 3; \end{cases} } \; |\; {x \in (3;4);} \\ {\begin{cases} x > 4,\\ x < 3; \end{cases} } \; |\; {x \in \varnothing .} \end{array}}\right.}\] Так как интервал (3;4) принадлежит области допустимых значений неравенства \(x>0\), можем записать ответ.

Ответ: \(x \in (3;4)\).

Решение II – вспомогательная переменная.

ОДЗ: \(x>0.\)
Приведём логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. \[\log_4{x} = \frac{\log_3{x}}{\log_3{4}}.\] \[\log_3{x}\cdot\log_4{x} - \log_3{x} - \log_4{x} +1 < 0; \\ \log_3{x}\cdot\frac{\log_3{x}}{\log_3{4}} - \log_3{x} - \frac{\log_3{x}}{\log_3{4}} +1 < 0.\] Введём вспомогательную переменную \(y = \log_3{x}\), получим рациональное неравенство. \[y\cdot\frac{y}{\log_3{4}} - y - \frac{y}{\log_3{4}} +1 < 0.\] Это неравенство также легко раскладывается на множители, после чего его можно решить методом интервалов. \[y\left(\frac{y}{\log_3{4}} - 1\right) - \left(\frac{y}{\log_3{4}} -1\right) < 0; \\ (y - 1)\left(\frac{y}{\log_3{4}} - 1\right) < 0;\\ (y - 1)\left(\frac{y - \log_3{4}}{\log_3{4}}\right) < 0.\]

Знаки на интервалах определены с учётом \(\log_3{4} > 1.\) Имеем \[ 1 < y < \log_3{4}; \\ 1 < \log_3{x} < \log_3{4}; \\ \log_3{3} < \log_3{x}; < \log_3{4}; \\ 3 < x < 4.\] Интервал (3;4) принадлежит области допустимых значений неравенства \(x>0\), следовательно это окончательный ответ.

Ответ: \(x \in (3;4)\).

Решение III – через уравнение.

ОДЗ: \(x>0.\)
Заменим знак "<" на знак "=" и решим уравнение методом разложения на множители. \[ \log_3{x}\cdot\log_4{x} - \log_3{x} - \log_4{x} +1 = 0;\\ \log_3{x}(\log_4{x} - 1) -(\log_4{x} -1) = 0;\\ (\log_4{x} - 1)(\log_3{x} -1) = 0.\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Поэтому уравнение равносильно совокупности двух простейших, решение которых в данном случае следует из определения логарифма. \[\left[{\begin{array}{l} {\log_4{x} = 1,\; | x= 4; } \\ {\log_3{x} = 1,\; | x= 3. } \end{array}}\right. \] На числовой оси отмечаем сначала ОДЗ (здесь зелёным цветом), затем на ОДЗ отмечаем полученные корни уравнения, затем определяем знаки на получившихся интервалах. Для этого произвольные числа из этих интервалов подставляем в выражение, данное в условии задачи.

1) пусть \(x = \sqrt{3} \approx 1,73; \;x \in (0;3)\), тогда \[\log_3{x}\cdot\log_4{x} - \log_3{x} - \log_4{x} +1 =\\ = \log_3{\sqrt{3}}\cdot\log_4{\sqrt{3}} - \log_3{\sqrt{3}} - \log_4{\sqrt{3}} +1 = \\ = 0,5\log_4{\sqrt{3}} - 0,5 - \log_4{\sqrt{3}} +1 = \\ =0,5 - 0,5\log_4{\sqrt{3}} = 0,5(1 - \log_4{\sqrt{3}}) > 0,\] так как \(\sqrt{3} < 4^1\; и\; 4>1,\) то \(\log_4{\sqrt{3}} < 1.\)
2) пусть \(x = 3,5; \;x \in (3;4)\) \[\log_3{x}\cdot\log_4{x} - \log_3{x} - \log_4{x} +1 = \\ = \log_3{3,5}\cdot\log_4{3,5} - \log_3{3,5} - \log_4{3,5} +1 = \\ = (\log_4{3,5} - 1)(\log_3{3,5} -1) < 0,\] так как \(3,5 < 4^1\; и\; 4>1,\) то \(\log_4{3,5} < 1,\) и так как \(3,5 > 3^1\; и\; 3>1,\) то \(\log_3{3,5} > 1.\)
3) пусть \(x = 9; \;x \in (4;+\infty)\) \[\log_3{x}\cdot\log_4{x} - \log_3{x} - \log_4{x} +1 = \\ = \log_3{9}\cdot\log_4{9} - \log_3{9} - \log_4{9} +1 = \\ = 2\log_4{9} - 2 - \log_4{9} + 1 = \\ = \log_4{9} - 1 >0, \] так как \(9 > 4^1\; и\; 4>1,\) то \(\log_4{9} > 1.\)

По рисунку формулируем ответ.

Ответ: \(x \in (3;4)\).

Сравните все три способа решения для этого вовсе не сложного неравенства и определитесь, какой вариант наиболее приемлем для вас.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Чтобы продолжить решение логарифмических неравенств, перейдите по ссылкам
Метод рационализации.
Примеры неравенств из банка заданий ЕГЭ
Задачи для самостоятельного решения