Решение логарифмических неравенств
(продолжение).

Логарифмические неравенства в КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня встречаются довольно часто. При изучении заданий на неравенства им стоит уделить особое внимание. В этом разделе подробно рассмотрены примеры решения типовых заданий, а также метод рационализации для решения логарифмических и смешанных неравенств и их систем. Если Вы попали на эту страницу из поисковика и ещё не решали простейшие логарифмические неравенства, то пройдите по ссылкам из оглавления и ознакомтесь с предыдущими материалами по этой теме.

Метод рационализации.

Метод рационализации для логарифмических неравенств хорошо работает тогда, когда неравенство, которое нужно решить, похоже на простейшее, но отличается от него тем, что основание логарифмической функции не является фиксированным. Т.е. метод рационализации имеет смысл применять для неравенств вида \[\log_{h(x)}{f(x)} \geqslant \log_{h(x)}{g(x)},\] где \(h(x),f(x),g(x) -\) функции. Суть метода сводится к замене приведенного логарифмического неравенства на неравенство вида \[(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0,\] которое, разумеется надо решать на ОДЗ исходного неравенства.
Обратите внимание: замена неравенства происходит с сохранением знака неравенства. За возрастание/убывание и, соответственно, за знак неравенства теперь отвечает множитель \((h(x)-1).\)

Итак, с учётом ОДЗ решение неравенства \(\log_{h(x)}{f(x)} \geqslant \log_{h(x)}{g(x)}\) сводится к решению равносильной системы неравенств \[\begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0;\\ h(x)>0;\\ h(x)\ne 0;\\ f(x) >0;\\ g(x) >0.\end{cases}\] Ценность метода состоит в том, что используя традиционный подход, мы имели бы не одну систему, а совокупность двух систем неравенств - одну для случая \(h(x) > 1\), вторую для случая \(h(x) < 1\). Рассмотрим пример.

Решение.

ОДЗ:

1. Основание логарифма положительно \(x^2 - 1 > 0\) и не равно единице \(x^2 - 1 \ne 1\).
2. Аргумент логарифмической фунции положителен \(\sqrt{3-x} > 0\) и \(\sqrt{x+3} > 0\).
3. Для квадратного корня подкоренное выражение неотрицательно \(3-x \geqslant 0\) и \(x+3 \geqslant 0\).

Значение арифметического квадратного корня неотрицательно по определению, следовательно условие (2) выполняется всегда, когда подкоренные выражения строго больше нуля. В итоге имеем \[ \begin{cases} x^2 - 1 > 0;\\ x^2 - 1 \ne 1;\\ x+3 > 0;\\ 3-x > 0. \end{cases}\; {\left|{\begin{array}{l} (x-1)(x+1) > 0;\\ x \ne \pm \sqrt{2};\\ x > -3;\\ x < 3. \end{array}}\right.} \]

\[x \in (-3;-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2};-1)\cup (1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};3)\]

I.Традиционный подход.

Рассматриваем два случая:
1) основание логарифма больше единицы и знак неравенства сохраняется;
2) основание логарифма меньше единицы и знак неравенства изменяется на обратный.
Множества решений для обоих случаев объединяем, т.е. соответствующие системы неравенств, включающие также неравенства из ОДЗ, образуют совокупность \[ \left[{\begin{array}{l} \begin{cases} x \in (-3;-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2};-1)\cup (1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};3),\\ x^2 - 1 > 1,\\ \sqrt{3-x} \leqslant \sqrt{x+3}; \end{cases} \\ \begin{cases} x \in (-3;-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2};-1)\cup (1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};3),\\ x^2 - 1 < 1,\\ \sqrt{3-x} \geqslant \sqrt{x+3}. \end{cases} \end{array}}\right. \] Замечание. Здесь и дальше для сокращения записи я использовала результаты, полученные на предыдущем шаге, в форме множеств, предполагая, что системы рациональных и иррациональных неравенств уже подробно изучены и восстановление более подробных записей не составит труда.
Решаем системы поочерёдно. Первая система равносильна следующей:

\( \begin{cases} x \in (-3;-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2};-1)\cup (1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};3),\\ x \in (-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};\infty),\\ 3-x \leqslant x+3; \end{cases}\; {\left|{\begin{array}{l} x \in (-3;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};3),\\ x \geqslant 0; \end{array}}\right.} {\left|{\begin{array}{l} x \in (\sqrt{2};3); \end{array}}\right.} \)

вторая система равносильна следующей:

\( \begin{cases} x \in (-3;-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2};-1)\cup (1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};3),\\ x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2}),\\ 3-x \geqslant x+3; \end{cases}\; {\left|{\begin{array}{l} x \in (-\sqrt{2};-1)\cup (1;\sqrt{2}),\\ x \leqslant 0; \end{array}}\right.} {\left|{\begin{array}{l} x \in (-\sqrt{2};-1); \end{array}}\right.} \)

Общее решение \[{\left[{\begin{array}{l} x \in (\sqrt{2};3),\\ x \in (-\sqrt{2};-1); \end{array}}\right.}\; {\left|{\begin{array}{l} x \in (-\sqrt{2};-1) \cup (\sqrt{2};3). \end{array}}\right.} \]

Ответ: \(x \in (-\sqrt{2};-1) \cup (\sqrt{2};3)\).

II.Метод рационализации.

Заменим логарифмическое неравенство на равносильное \[(x^2-1 - 1)(\sqrt{3-x} - \sqrt{x+3}) \leqslant 0.\] Так как квадратный корень есть функция монотонно возрастающая на своей области определения, то разность \(\sqrt{3-x} - \sqrt{x+3}\) также можно заменить на разность аргументов. Получим следующее равносильное неравенство, уже рациональное. \[(x^2-1 - 1)((3-x) - (x+3)) \leqslant 0.\] Это неравенство можно решеть методом интервалов на ОДЗ. Последнее надо понимать буквально – отмечаем интервалы на том же чертеже, на котором находили ОДЗ. \[(x^2-2)((3-x - x-3)) \leqslant 0, \\ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(-2x) \leqslant 0.\]

В ответ включаем пересечение множеств ОДЗ и отрицательных интервалов.

Ответ: \(x \in (-\sqrt{2};-1) \cup (\sqrt{2};3)\).

Понятно, что последнее решение явно короче и понятнее. Что особенно ценно для условий экзамена, оно содержит меньше возможностей совершить ошибку из-за невнимательности.

Если основание логарифма фиксировано, не содержит неизвестной переменной, то метод рационализации применять тоже можно, но никакого "выигрыша" по сравнению с классическим решением простейших неравенств не будет. Разве что в случае, когда разность логарифмов входит множителем в другое неравенство. Рассмотрим пример, затем сформулируем правило.

Решение.

ОДЗ: \(5x+3>0 \Leftrightarrow x > -0,6.\)
Вспомним, что логарифм единицы по любому основанию равен нулю. В частности \(\log_{2}{(5x+3)} = \log_{2}{(5x+3)} - 0 = \log_{2}{(5x+3)}-\log_{2}{1}\).
Перепишем неравенство \[(x^2-2x-8)(\log_{2}{(5x+3)} - \log_{2}{1})>0.\] Выполним рационализацию второго множителя \[(x^2-2x-8)(2-1)(5x+3-1)>0.\] Решаем на ОДЗ методом интервалов \[(x^2-2x-8)(2-1)(5x+3-1)>0;\\ (x+2)(x-4)\cdot 1\cdot(5x+2) >0.\]

Ответ представляет собой пересечение положительных интервалов с множеством допустимых значений.

Ответ: \(x \in (-0,6;-0,4) \cup (4;+\infty)\).

Примеры неравенств из банка заданий ЕГЭ

Решение.

ОДЗ логарифмической части выражения: \(\begin{cases}x >0,\\ 32x^{10}>0;\end{cases}\;|\;x > 0.\)
Кроме того, знаменатели обеих дробей не могут равняться нулю. За этим проследим в процессе преобразований.

Преобразуем \(\log_{2}{(32x^{10})} = \log_{2}{32} + \log_{2}{x^{10}} = 5 + 10\log_{2}{x}.\) Получим \[1+\frac{10}{\log_{2}{x} -5}+\frac{16}{\log^2_{2}{x} - (5 + 10\log_{2}{x}) +30}\geqslant 0.\] Введём переменную \(y = \log_{2}{x}\). \[1+\frac{10}{y -5}+\frac{16}{y^2 - 10y +25}\geqslant 0.\] В процессе подстановки упростили выражение в знаменателе второй дроби. Преобразуем дальше, чтобы неравенство относительно \(y\) решить методом интервалов.
\[1+\frac{10}{y -5}+\frac{16}{(y-5)^2}\geqslant 0; \\ \frac{(y-5)^2+10(y -5)+16}{(y-5)^2}\geqslant 0.\] Чтобы разложить на множители числитель дроби, решаем квадратное уравнение относительно \((y-5)\). Это легко сделать, например, по теореме Виета: \((y-5)_1 = -2;\;(y-5)_2 = -8.\) Тогда \[\frac{(y-5 + 2)(y-5 + 8)}{(y-5)^2}\geqslant 0; \\ \frac{(y-3)(y + 3)}{(y-5)^2}\geqslant 0.\] Строим и анализируем интервалы на оси \(y\).

Вывод: \(y\in (-\infty;-3]\cup [3;5)\cup (5;+\infty)\). Но его в данном случае лучше записывать в форме неравенств, более удобной для перехода к переменной \(x\) \[ {\left[{\begin{array}{l} y \leqslant -3,\\ y \geqslant 3,\\ y \ne 5.\end{array}}\right.}\] Дроби приведены к общему знаменателю с помощью равносильных преобразований, поэтому требование \(y \ne 5\) и, соответственно, \(\log_{2}{x}\ne 5\) обеспечивает выполнение второго условия ОДЗ.
Тогда с учётом первого условия ОДЗ имеем систему простейших неравенств \[ \begin{cases} x > 0;\\ {\left[{\begin{array}{l} \log_{2}{x} \leqslant -3,\\ \log_{2}{x} \geqslant 3,\\ \log_{2}{x} \ne 5. \end{array}}\right.} \end{cases} \] Решаем её относительно \(x\). \[\log_{2}{x} \leqslant -3\;\;\Leftrightarrow\;\; \log_{2}{x} \leqslant \log_{2}{2^{-3}}\;\;\Leftrightarrow\;\; x \leqslant 2^{-3};\\ \log_{2}{x} \geqslant 3\;\;\Leftrightarrow\;\; \log_{2}{x} \geqslant \log_{2}{2^{3}}\;\;\Leftrightarrow\;\; x \geqslant 2^{3};\\ \log_{2}{x} \ne 5;\;\Leftrightarrow\;\; \log_{2}{x} \ne \log_{2}{2^{5}}\;\;\Leftrightarrow\;\; x \ne 2^{5}.\] Следовательно система равносильна следующей \[ \begin{cases} x > 0;\\ {\left[{\begin{array}{l} x \leqslant \frac{1}{8};\\ x \geqslant 8;\\ x \ne 32. \end{array}}\right.} \end{cases} \] Последняя система неравенств легко решается устно, но во избежание ошибок на экзамене лучше изобразите все условия на числовой оси. Общее решение \(x\in (0;\frac{1}{8}]\cup[8;32)\cup(32;+\infty)\).

Ответ: \(x\in (0;\;0,125]\cup[8;\;32)\cup(32;\;+\infty)\).

Решение.

ОДЗ:\(\begin{cases} 3-x > 0;\\ 3-x \ne 1;\\ x + 3 > 0;\\ x + 4 > 0;\\ x + 4 \ne 1;\\ 5-x >0.\end{cases}\)

Решаем эту систему неравенств на числовой оси

Вывод: \(x \in (-3;2)\cup (2;3)\).

Для решения основного неравенства применяем метод рационализации с учётом того, что \(\log_{x+4}{1}=0,\; \log_{3-x}{1}=0\).

\[(\log_{3-x}{(x+3)} - 0 )\cdot (\log_{x+4}{(5-x)} - 0 )\leqslant 0;\\ (\log_{3-x}{(x+3)} - \log_{3-x}{1})\cdot (\log_{x+4}{(5-x)} - \log_{x+4}{1})\leqslant 0;\\ (3-x-1)\cdot (x+3-1)\cdot(x+4-1)\cdot(5-x-1) \leqslant 0;\\ (2-x)\cdot(x+2)\cdot(x+3)\cdot(4-x)\leqslant 0.\] Последнее неравенство решаем на ОДЗ методом интервалов.

Общее решение – пересечение отрицательных интервалов с областью допустимых значений переменной.

Ответ: \(x \in (-3;-2]\cup(2;3)\).

Задачи для самостоятельного решения

Эти задачи также даны с ответом и полным решением, которое временно скрыто. Сначала попробуйте решить неравенство самостоятельно, а затем пользуйтесь кнопками, чтобы сравнить ответ и посмотреть моё решение. Последнее не обязательно должно совпадать с вашим, бывают разные методы решения логарифмических неравенств и разные способы преобразования выражений, содержащих логарифмы.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.