Логотип Математички

ЕГЭ Математика. Профильный уровень. Проект 2023.

Перейти к заданию №

 
персонаж

Ознакомьтесь с Проектом Демонстрационного варианта ЕГЭ 2023 по математике, который здесь представлен с решениями всех заданий первой части - заданий с кратким ответом.

Здесь вы можете ознакомиться с первой частью варианта и поработать над заданиями профильного уровня с кратким ответом. Вторая часть варианта – задания профильного уровня с развёрнутым ответом – представлена в разделе Профильный уровень. Задачи с развёрнутым ответом.

В демонстрационном варианте представлено по несколько примеров заданий на некоторые позиции экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено только одно задание.

Чтобы ознакомиться с содержанием экзамена базового уровня, перейдите на страницу с интерактивной Демоверсией базового уровня.

Сдадим ЕГЭ по математике? Легко!

Нужны такие материалы в сети? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Задание 1

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 64

треугольник вписан в окружность Угол BOC является центральным углом, который опирается на ту же дугу окружности. что и вписанный угол BAC, поэтому он вдвое больше заданного. \[2\cdot32^{\circ} = 64^{\circ}.\]

Площадь треугольника ABC равна 24, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE .

Ответ: 6

средняя линия  и площадь треугольника Средняя линия отсекает от исходного треугольника подобный ему. При этом все размеры линейных элементов треугольников относятся как 1:2. Площади, соответственно, будут относиться как 12:22, т.е. площадь отсеченного треугольника составляет четверть площади исходног: 24:4 = 6.

В ромбе ABCD угол DBA равен 13°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 154

найти угол в ромбе Диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника, поэтому \(\angle BCD = \angle BAC = 180^\circ -2\cdot13^\circ = 154^\circ.\)

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бóльшую сторону параллелограмма.

Ответ: 16

площадь параллелограмма Площадь параллелограмма можно вычислить умножением длины его стороны на высоту, опущенную на эту сторону, т.е. S = AD·BH или S = AB·ED. Так как это площадь одного и того же параллелограмма, то можно составить уравнение \[AD\cdot BH = AB\cdot ED \\24\cdot18 = 27\cdot h;\\ h = \frac{24\cdot18}{27} = 16.\]

Задание 2

цилиндры

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 4

Объём цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\).
Таким образом, объём жидкости в первом сосуде составляет \(\pi r_1^2\cdot16\), во втором – \(\pi (2r_1)^2\cdot h_2\). При переливании жидкости её объём сохраняется, следовательно \[\pi r_1^2\cdot16 = \pi (2r_1)^2\cdot h_2; \\ 16r_1^2 = 4r_1^2h_2;\;\; h_2=4.\]
призмы

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Ответ: 12

Площадь боковой поверхности призмы состоит из суммы площадей 3-ёх параллелограммов. Плоскость, параллельная боковому ребру, пересекает две грани призмы по прямым, параллельным рёбрам. Легко доказать, что при заданном условии эти прямые делят каждую грань на два равных параллелограмма.

Проведенная плоскость образует новую грань отсечённой призмы, которая также составляет половинку противолежащей грани исходной призмы (по свойствам средней линии треугольника). Таким образом, площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы составляет половину заданной площади: 24:2 = 12.

круговой конус

Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2 , считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Ответ: 52

Разделив высоту конуса в отношении 1:2, получим, что высота меньшего конуса (верхней части) составляет одну третью часть высоты большего (исходного) конуса.
Так как маленький конус полностью подобен большому, то можно воспользоваться правилами подобия: если линейные размеры подобных фигур относятся с коэффициентом \(k\), то их объёмы относятся с коэффициентом \(k^3\).

\[k = \frac{1}{3}; \;\; k^3 = \frac{1}{27}\] Следовательно, объём маленького конуса равен \(54:27=2,\) а объём нижней части большого конуса \(54-2 = 52.\)

Задание 3

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

Ответ: 0,08

По определению вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Событие "выпускнику достаётся один случайно выбранный билет" является элементарным, поэтому \(n = 25; \; m = 2; \;\;P =\dfrac{2}{25} =0,08.\)

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?

Ответ: 0,2

Событие "мотор холодильника прослужит более 1 года" реализуется в двух вариантах "мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет" ИЛИ "он прослужит более 2 лет". Т.е. первое событие яваляется суммой двух других, а поскольку они несовместимы, то можно перейти к сумме вероятностей, обозначив неизвестную вероятность переменной \(x.\) \[0,8 = x+0,6;\;\;x = 0,8-0,6=0,2.\]

Задание 4

Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало три очка»?

Ответ: 0,6.

Решение.

Используем классическое определение вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Чтобы найти количество исходов, рассмотрим из каких трёх слагаемых может состоять число 6.

1) 6 = 1+2+3;
2) 6 = 2+2+2;
3) 6 = 4+1+1.

При трёхкратном бросании игральной кости вариант 1 может реализоваться 6-ю способами, т.к. очки могут выпадать в любом порядке: перестановки из 3-ёх элементов 3! = 6.
Вариант 2 может реализоваться только одним способом.
Вариант 3 реализуется 3-мя способами: 4 очка могут выпасть при первом, или при втором, или при третьем бросании.
Итого \(n = 6+1+3 = 10.\)

В первом варианте тройка присутствует по одному разу в каждом из 6-ти способов. Во втором и третьем вариантах тройки вообще нет.
Итого \(m = 6.\) \[P =\frac{m}{n} = \frac{6}{10} = 0,6.\]

В городе 48% взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Ответ: 0,1

Решение.

Используем И/ИЛИ-правила (правила умножения/сложения вероятностей).

От долей населения в процентах перейдём к соответствующим вероятностям в десятичных дробях. (Это можно сделать, опираясь на такое доказательство: если в городе живёт N взрослых человек и 48% из них мужчины, то мужчин в городе живёт \(\dfrac{N\cdot48}{100},\) тогда вероятность встретить взрослого мужчину составляет \(\dfrac{N\cdot48}{100\cdot N} = \dfrac{48}{100} = 0,48.)\)

Неизвестную вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером» обозначим x. А находить будем вероятность другого, более общего события «выбранный взрослый житель города является пенсионером». Это событие можно записать так:

"Житель города является пенсионером, если он мужчина И при этом пенсионер ИЛИ она женщина И при этом пенсионер".

Учитывая независимость и несовместимость событий (один человек не может быть одновременно женщиной и мужчиной, быть и не быть персионером), к "И" применяем правило умножения вероятностей, к "ИЛИ" - правило сложения вероятностей. Получим формулу для вероятностей

P(П) = P(М)·P(МП) + P(Ж)·P(ЖП).

В этой формуле введены такие обозначения
  • Событие П - "Житель города является пенсионером". Вероятность этого события P(П) = 0,126 находим в условии задачи (пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения).

  • Событие М - "Этот житель города является мужчиной". Вероятность этого события P(М) = 0,48 находим в условии задачи.

  • Событие МП - "Выбранный мужчина является пенсионером". Вероятность этого события мы приняли за x.

  • Событие Ж - "Этот житель города является женщиной". Вероятность этого события P(Ж) = 1 − 0,48 = 0,52, так как оно противоположно событию "житель города мужчина".

  • Событие ЖП - "Выбранная женщина является пенсионеркой". Вероятность этого события P(ЖП) = 0,15 находим в условии задачи (доля пенсионеров среди женщин равна 15%).
Получаем уравнение 0,126 = 0,48·x + 0,52·0,15,
из которого находим 0,48x = 0,126 − 0,52·0,15 = 0,048;
x = 0,048/0,48 = 0,1.

Задание 5

Найдите корень уравнения 3 x − 5 = 81.

Ответ: 9

\[81 = 3^4;\;\; 3^{x-5} = 3^4; \;\;x - 5 = 4; \;\; x = 9.\]

Найдите корень уравнения √3x + 49______ = 10.

Ответ: 17

\[ОДЗ: 3x+49 \ge 0. \\3x+49 = 100; \;\; 3x = 51; \;\; x = 17.\]

Найдите корень уравнения log8(5x + 47) = 3.

Ответ: 93

По определению логарифма \( 8^3 = 5x+47.\)
\(5x+47 = 512;\;\;5x=465;\;\;x=93.\)

Решите уравнение √2x + 3______ = x.
Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.

Ответ: 3

\[ОДЗ: \begin{cases} 2x+3 \ge 0; \\ x \ge 0. \end{cases} \\2x+3 = x^2; \;\; x^2 - 2x -3 =0.\] По теореме Виета \(x_1\cdot x_2 = -3;\;\; x_1+x_2 = 2,\) подходят значения \(x_1 = -1;\;\; x_2 = 3.\)
\(x_1 < 0\) не удовлетворяет ОДЗ, следовательно уравнение имеет один корень \(x = 3.\)

Задание 6

Найдите \(\sin{2\alpha}\), если \(\cos{\alpha} = 0,6\) и π < α < 2π.

Ответ: −0,96

\[\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha};\\ \sin^2{\alpha}= 1- \cos^2{\alpha} = 1 - 0,6^2 = 1-0,36=0,64;\\ \sin{\alpha} = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8.\] По условию \(\pi<\alpha<2\pi\), т.е. угол принадлежит нижней половине тригонометрического круга, где синус имеет отрицательные значения. Следовательно \(\sin{\alpha}=-0,8;\;\ \sin{2\alpha} = 2\cdot(-0,8)\cdot0,6 =-0,96.\)

Найдите значение выражения \(16\log_{7}{(\sqrt[\Large4]{7})}\).

Ответ: 4

\[16\log_7{\sqrt[\Large4]{7}} = 16\log_7{7^{\Large\frac{1}{4}}} = 16\cdot\frac{1}{4} =4. \]

Найдите значение выражения \( 4^{\Large\frac{1}{5}}\cdot16^{\Large\frac{9}{10}} \).

Ответ: 16

\[4^{\Large\frac{1}{5}}\cdot16^{\Large\frac{9}{10}} = 2^{2\cdot\Large\frac{1}{5}}\cdot2^{4\cdot\Large\frac{9}{10}}= 2^{\Large{\frac{2}{5} + \frac{36}{10}}}= 2^4 = 16.\]

Задание 7

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1 , x2 , ..., x9.

график дифференцируемой функции

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.

Ответ: 4

график дифференцируемой функции Производная отрицательна в точках, которые находятся на промежутках убывания функции. Отмечаем эти точки на рисунке. Нашлось четыре.
график функции с касательной

На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f'(x) в точке x0.

Ответ: – 1,75

график дифференцируемой функции Точка \(x_0\) расположена на участке убывания функции, следовательно ответ должен быть со знаком "минус".

Для получения абсолютной величины числа нужно построить на клеточках прямоугольный треугольник так, чтобы его гипотенуза располагалась на касательной, а вершины строго в узлах клеток. Отношение длины катета, параллельного оси Oy к длине катета, параллельного оси , даёт значение тангенса нужного угла.

AC___BC = 7_4.

\[f'(x_0) = -\frac{7}{4} = -1,75.\]

Задание 8

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

v = c · ff0____f + f0,

где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0 — частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Ответ: 751

Первым делом убеждаемся, что размерности всех величин в формуле, в условии задачи и в вопросе к заданию заданы в единой системе единиц. Если требуется, например, переход от километров к метрам или от секунд к часам, выполняем соответствующие вычисления.

Подставляем в формулу числовые значения \[\nu = c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0};\\ 2 = 1500\cdot\frac{f-749}{f+749}.\] Решаем получившееся уравнение относительно неизвестной \(f\). \[2(f+749) = 1500(f-749);\\ 2f-1500f=-2\cdot749-1500\cdot749;\\ 1498f = 1502\cdot749; \;\; 2f = 1502;\;\;f=751(МГц).\]

Задание 9

Весной катер идёт против течения реки в  12_3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в  11_2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Ответ: 5

Решение

Обозначим символом v собственную скорость катера (км/ч), символом x - скорость течения реки весной (км/ч). Тогда скорость течения реки летом составляет (x - 1) км/ч. Имеем
весной: катер идёт против течения со скоростью (v - x), по течению со скоростью (v + x). По условию первая скорость в 12/3 раза меньше, т.е.
(v + x)/(v - x) = 12/3;
летом: катер идёт против течения со скоростью (v - (x - 1)), по течению со скоростью (v + (x - 1)). По условию первая скорость в 11/2 раза меньше, т.е.
(v + (x - 1))/(v - (x - 1)) = 11/2.
Объединяем уравнения в систему и решаем её:

Ответ: 5

Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?

Ответ: 15

Пусть масса первого раствора \(x\;кг,\) второго – \(у\;кг.\) При смешивании растворов количество кислоты в смесях сохраняется. Вычисляем количество кислоты в растворах до и после смешивания, получившиеся "законы сохранения" для обоих случаев объединяем в систему уравнений. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10);\\ 0,45x+0,97y+0,50\cdot10 = 0,72(x+y+10). \end{cases}\] Систему решаем методом сложения уравнений. В данном случае вычтем из нижнего верхнее. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ 5 = 0,1x+0,1y+1; \end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ x+y = 40;\end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97(40-x) = 0,62(x+40-x+10),\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ \begin{cases} -0,52x = -7,8,\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ x = -7,8/(-0,52) = 15. \]

Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?

Ответ: 7,5

Первый автомобиль движется относительно второго со скоростью \( 70-40=30 (км/ч).\) Следовательно за 15 минут после обгона он удалится на расстояние \(30\cdot15:60 = 7,5 (км).\)

Задание 10

задание ЕГЭ на коэффициенты параболы

На рисунке изображён график функции вида \(f(x)= ax^2 + bx + c,\) где числа \(a, b\; и \;c\) — целые. Найдите значение \(f(-12)\).

Ответ: 61

решение задания ЕГЭ ЕГЭ на коэффициенты параболы

Решение.

Формула функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Требуется определить значение функции в точке, которая не видна на графике, поэтому нужно воспользоваться формулой. Для этого сначала нужно уточнить формулу, т.е. определить неизвестные коэффициенты квадратного трёхчлена.

Способ I.

Три неизвестных коэффициента можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, берём на графике три "удобные" точки и подставляем их координаты в формулу функции.
Точки "удобны", если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень хорошими точками являются вершина и точка пересечения с осью ординат. К сожалению, последняя на заданном участке графика также не видна.
На рисунке показаны выбранные мною точки, которые задают следующие соотношения \[x_в=-4\;\Rightarrow\;-\frac{b}{2a} = -4;\\ f(-3)=-2\; \Rightarrow\;a(-3)^2 + b(-3) + c = -2;\\ f(-2)=1\;\Rightarrow\;a(-2)^2 + b(-2) + c = 1.\] Получили ситему уравнений \[ \begin{cases} -\dfrac{b}{2a} = -4,\\ 9a -3b + c = -2,\\ 4a -2b + c = 1. \end{cases}\] Решаем её \[\begin{cases} b = 8a,\\9a -24a + c = -2,\\4a -16a + c = 1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8a,\\c = 15a-2,\\c = 12a+1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8a,\\0 = 3a-3,\\c = 12a+1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8,\\a = 1,\\c = 13.\\ \end{cases}\] Таким образом, уравнение функции имеет вид \(f(x)= x^2 + 8x + 13\), чтобы найти её значение в заданной точке, подставляем −12 в формулу \[f(-12)= (-12)^2 + 8\cdot(-12) +13 = 144-96+13 = 61.\] решение задания ЕГЭ на коэффициенты параболы

Способ II.

Так как по графику хорошо считывается вершина параболы – точка с координатами (−4;−3), то имеет смысл вспомнить, что вершина параболы связана с коэффициентами квадратного трёхчлена формулами \[x_в = -\dfrac{b}{2a};\;y_в = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}.\] И формулу функции (квадратный трёхчлен) представить в преобразованном виде \[ax^2 + bx + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} = a(x-x_в)^2 + y_в = a(x+4)^2 -3.\] В формуле остался один неизвестный коэффициент. Чтобы найти его значение, считаем с графика координаты еще одной точки, например (−3;−2) и подставим их в уравнение. \[f(x) = a\left(x+4\right)^2 -3\\ -2 = a(-3+4)^2 -3\;\; \Rightarrow \;\; a = 1.\] Таким образом, формула приобрела вид \(f(x) = (x+4)^2 -3\). Подстановкой находим искомое значение \(f(-12) = (-12+4)^2 -3 = 64-3=61.\)

Ответ: 61

Задание 11

Найдите наименьшее значение функции \[y = 9x - 9\ln{(x + 11)} + 7\] на отрезке [−10,5; 0].

Ответ: –83

Наименьшее значение функции на отрезке может достигаться в точке минимума внутри отрезка или на одном из его краёв.

Ищем точку (точки, если их несколько), в которых производная равна нулю или не существует – точки возможных экстремумов.

\[y' = (9x - 9\ln{(x + 11)} + 7)' = 9 - \frac{9}{x+11} = \frac{9(x+10)}{x+11};\\ \frac{x+10}{x+11} = 0\; \Leftrightarrow \; x_1 = -10, \; x_2 = -11.\] Так как "подозрительных" точек внутри отрезка мало, точнее, всего одна \(x_1=-10\) (\(x_2<-10,5\)), то для поиска наименьшего значения бывает проще не определять тип экстремума, а сразу вычислить значение функции в этой точке и сравнить его с краевыми значениями.

Вычисляем
\(y(-10) = 9\cdot(-10) - 9\ln{(-10 + 11)} + 7 = -90 - 0 +7= -83;\\ y(-10,5) = 9\cdot(-10,5) - 9\ln{(-10,5 + 11)} + 7 = -94,5 -9\ln{0,5}+7 = -87,5+9\ln2;\\ y(0) = 9\cdot0 - 9\ln{(0 + 11)} + 7 = 7 - 9\ln11.\)

В результате сравнение осложнилось тем, что для окончательного вывода нужно оценить примерные значения ln2 и ln11. Это можно сделать, но явно не в условиях экзамена. Поэтому данная задача лучше решается по алгоритму определения точек экстремума, а именно

1) Вычисляем производную функции \(y' = \dfrac{9(x+10)}{x+11};\)

2) Определяем критические точки \(\dfrac{x+10}{x+11} = 0\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} x+10=0,\\x+11\ne0 \end{cases};\)
\(x_1 = -10, \; x_2 = -11\) – критичексие точки, в которых производная может изменять знак, потому что в первой она равна нулю, а во второй не существует.

3) Определяем промежутки знакопостоянства производной и, соответственно, промежутки возрастания/убывания функции. Это удобно делать на чертеже участка числовой оси

Чтобы определить знаки производной выбираем удобные для вычислений значения аргумента \(x\) внутри промежутка и подставляем их в формулу для производной, полученную в пункте 1).
\(y'(-10,5) = \dfrac{9(-10,5+10)}{-10,5+11} = -9 <0; \\ y'(-9) = \dfrac{9(-9+10)}{-9+11} = \dfrac{9}{2} = 4,5 >0 \\ y'(-12) = \dfrac{9(-12+10)}{-12+11} = \dfrac{-18}{-1} = 18 >0.\)

4) Делаем выводы: на заданном отрезке находится только точка минимума функции \(x = -10\), следовательно в ней и достигается наименьшее значение \(y(-10) = -83.\)

Замечание: Если всё-таки требуется оценить значения ln2 и ln11, нужно составить неравенства.
Вспомним, что натуральный логарифм - это логарифм по основанию \(e = 2,718...\) и функция lnx является монотонно возрастающей, поэтому
\(\sqrt{e} <2< e\; \Rightarrow \; 0,5<\ln2 < 1 \Rightarrow \; -87,5+9\ln2 > -87,5+9\cdot0,5 > -83;\\ e^2<11< e^3 \; \Rightarrow \; 2<\ln11 <3 \Rightarrow \; 7-9\ln11 > 7-9\cdot3 > -83.\)

Найдите точку максимума функции \[y = (x + 8)^2\cdot e^{3-x}.\]

Ответ: – 6

1) \(y'=\left((x + 8)^2\cdot e^{3-x}\right)'=\left((x + 8)^2\right)'\cdot e^{3-x}+(x + 8)^2\cdot\left( e^{3-x}\right)' = \\ = 2(x+8)\cdot e^{3-x} +(x + 8)^2\cdot e^{3-x}\cdot(3-x)' = 2(x+8)\cdot e^{3-x} - (x + 8)^2\cdot e^{3-x} = \\= e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(2-x-8)=-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6);\)

2) \(-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6) = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;(x+8)(x+6)= 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_1 = -8,\;x_2 = -6; \)

3)

4) \(x_{max} = -6.\)

Найдите точку минимума функции \[y = -\frac{x}{x^2 + 256}.\]

Ответ: 16

1) \(y'=\left(-\dfrac{x}{x^2+256}\right)'=-\dfrac{x'\cdot(x^2+256)-x\cdot(x^2+256)'}{(x^2+256)^2} =\\ = -\dfrac{1\cdot(x^2+256)-x\cdot(2x+0)}{(x^2+256)^2} = -\dfrac{x^2+256-2x^2}{(x^2+256)^2}=\dfrac{x^2-256}{(x^2+256)^2}; \)

2) \(\dfrac{x^2-256)}{(x^2+256)^2} = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;x^2-256 = 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_{1,2} = \pm16; \)

3)

4) \(x_{min} = 16.\)

Чтобы получить наиболее высокие баллы, нужно продолжить подготовку и перейти к решению задач ЕГЭ по математике с развёрнутым ответом.

   Переход  на главную страницу сайта.