ЕГЭ. Математика. Профильный уровень.

Объём цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\).
Таким образом, объём жидкости в первом сосуде составляет \(\pi r_1^2\cdot16\), во втором – \(\pi (2r_1)^2\cdot h_2\). При переливании жидкости её объём сохраняется, следовательно \[\pi r_1^2\cdot16 = \pi (2r_1)^2\cdot h_2; \\ 16r_1^2 = 4r_1^2h_2;\;\; h_2=4.\]

Площадь боковой поверхности призмы состоит из суммы площадей 3-ёх параллелограммов. Плоскость, параллельная боковому ребру, пересекает две грани призмы по прямым, параллельным рёбрам. Легко доказать, что при заданном условии эти прямые делят каждую грань на два равных параллелограмма.

Проведенная плоскость образует новую грань отсечённой призмы, которая также составляет половинку противолежащей грани исходной призмы (по свойствам средней линии треугольника). Таким образом, площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы составляет половину заданной площади: 24:2 = 12.

Разделив высоту конуса в отношении 1:2, получим, что высота меньшего конуса (верхней части) составляет одну третью часть высоты большего (исходного) конуса.
Так как маленький конус полностью подобен большому, то можно воспользоваться правилами подобия: если линейные размеры подобных фигур относятся с коэффициентом \(k\), то их объёмы относятся с коэффициентом \(k^3\).

\[k = \frac{1}{3}; \;\; k^3 = \frac{1}{27}\] Следовательно, объём маленького конуса равен \(54:27=2,\) а объём нижней части большого конуса \(54-2 = 52.\)

По определению вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Событие "выпускнику достаётся один случайно выбранный билет" является элементарным, поэтому \(n = 25; \; m = 2; \;\;P =\dfrac{2}{25} =0,08.\)

Событие "мотор холодильника прослужит более 1 года" реализуется в двух вариантах "мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет" ИЛИ "он прослужит более 2 лет". Т.е. первое событие яваляется суммой двух других, а поскольку они несовместимы, то можно перейти к сумме вероятностей, обозначив неизвестную вероятность переменной \(x.\) \[0,8 = x+0,6;\;\;x = 0,8-0,6=0,2.\]

Решение.

Используем классическое определение вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Чтобы найти количество исходов, рассмотрим из каких трёх слагаемых может состоять число 6.

1) 6 = 1+2+3;
2) 6 = 2+2+2;
3) 6 = 4+1+1.

При трёхкратном бросании игральной кости вариант 1 может реализоваться 6-ю способами, т.к. очки могут выпадать в любом порядке: перестановки из 3-ёх элементов 3! = 6.
Вариант 2 может реализоваться только одним способом.
Вариант 3 реализуется 3-мя способами: 4 очка могут выпасть при первом, или при втором, или при третьем бросании.
Итого \(n = 6+1+3 = 10.\)

В первом варианте тройка присутствует по одному разу в каждом из 6-ти способов. Во втором и третьем вариантах тройки вообще нет.
Итого \(m = 6.\) \[P =\frac{m}{n} = \frac{6}{10} = 0,6.\]

Решение.

Используем И/ИЛИ-правила (правила умножения/сложения вероятностей).

От долей населения в процентах перейдём к соответствующим вероятностям в десятичных дробях. (Это можно сделать, опираясь на такое доказательство: если в городе живёт N взрослых человек и 48% из них мужчины, то мужчин в городе живёт \(\dfrac{N\cdot48}{100},\) тогда вероятность встретить взрослого мужчину составляет \(\dfrac{N\cdot48}{100\cdot N} = \dfrac{48}{100} = 0,48.)\)

Неизвестную вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером» обозначим x. А находить будем вероятность другого, более общего события «выбранный взрослый житель города является пенсионером». Это событие можно записать так:

"Житель города является пенсионером, если он мужчина И при этом пенсионер ИЛИ она женщина И при этом пенсионер".

Учитывая независимость и несовместимость событий (один человек не может быть одновременно женщиной и мужчиной, быть и не быть персионером), к "И" применяем правило умножения вероятностей, к "ИЛИ" - правило сложения вероятностей. Получим формулу для вероятностей

P(П) = P(М)·P(МП) + P(Ж)·P(ЖП).

В этой формуле введены такие обозначения

• Событие П - "Житель города является пенсионером". Вероятность этого события P(П) = 0,126 находим в условии задачи (пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения).


• Событие М - "Этот житель города является мужчиной". Вероятность этого события P(М) = 0,48 находим в условии задачи.


• Событие МП - "Выбранный мужчина является пенсионером". Вероятность этого события мы приняли за x.


• Событие Ж - "Этот житель города является женщиной". Вероятность этого события P(Ж) = 1 − 0,48 = 0,52, так как оно противоположно событию "житель города мужчина".


• Событие ЖП - "Выбранная женщина является пенсионеркой". Вероятность этого события P(ЖП) = 0,15 находим в условии задачи (доля пенсионеров среди женщин равна 15%).

Получаем уравнение 0,126 = 0,48·x + 0,52·0,15,
из которого находим 0,48x = 0,126 − 0,52·0,15 = 0,048;
x = 0,048/0,48 = 0,1.

\[81 = 3^4;\;\; 3^{x-5} = 3^4; \;\;x - 5 = 4; \;\; x = 9.\]

\[ОДЗ: 3x+49 \ge 0. \\3x+49 = 100; \;\; 3x = 51; \;\; x = 17.\]

По определению логарифма \( 8^3 = 5x+47.\)
\(5x+47 = 512;\;\;5x=465;\;\;x=93.\)

\[ОДЗ: \begin{cases} 2x+3 \ge 0; \\ x \ge 0. \end{cases} \\2x+3 = x^2; \;\; x^2 - 2x -3 =0.\] По теореме Виета \(x_1\cdot x_2 = -3;\;\; x_1+x_2 = 2,\) подходят значения \(x_1 = -1;\;\; x_2 = 3.\)
\(x_1 < 0\) не удовлетворяет ОДЗ, следовательно уравнение имеет один корень \(x = 3.\)

\[\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha};\\ \sin^2{\alpha}= 1- \cos^2{\alpha} = 1 - 0,6^2 = 1-0,36=0,64;\\ \sin{\alpha} = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8.\] По условию \(\pi<\alpha<2\pi\), т.е. угол принадлежит нижней половине тригонометрического круга, где синус имеет отрицательные значения. Следовательно \(\sin{\alpha}=-0,8;\;\ \sin{2\alpha} = 2\cdot(-0,8)\cdot0,6 =-0,96.\)

\[16\log_7{\sqrt[\Large4]{7}} = 16\log_7{7^{\Large\frac{1}{4}}} = 16\cdot\frac{1}{4} =4. \]

\[4^{\Large\frac{1}{5}}\cdot16^{\Large\frac{9}{10}} = 2^{2\cdot\Large\frac{1}{5}}\cdot2^{4\cdot\Large\frac{9}{10}}= 2^{\Large{\frac{2}{5} + \frac{36}{10}}}= 2^4 = 16.\]

Производная отрицательна в точках, которые находятся на промежутках убывания функции. Отмечаем эти точки на рисунке. Нашлось четыре.

Точка \(x_0\) расположена на участке убывания функции, следовательно ответ должен быть со знаком "минус".

Для получения абсолютной величины числа нужно построить на клеточках прямоугольный треугольник так, чтобы его гипотенуза располагалась на касательной, а вершины строго в узлах клеток. Отношение длины катета, параллельного оси Oy к длине катета, параллельного оси Oх, даёт значение тангенса нужного угла.

AC___BC = 7_4.

\[f'(x_0) = -\frac{7}{4} = -1,75.\]

Первым делом убеждаемся, что размерности всех величин в формуле, в условии задачи и в вопросе к заданию заданы в единой системе единиц. Если требуется, например, переход от километров к метрам или от секунд к часам, выполняем соответствующие вычисления.

Подставляем в формулу числовые значения \[\nu = c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0};\\ 2 = 1500\cdot\frac{f-749}{f+749}.\] Решаем получившееся уравнение относительно неизвестной \(f\). \[2(f+749) = 1500(f-749);\\ 2f-1500f=-2\cdot749-1500\cdot749;\\ 1498f = 1502\cdot749; \;\; 2f = 1502;\;\;f=751(МГц).\]

Решение

Обозначим символом v собственную скорость катера (км/ч), символом x - скорость течения реки весной (км/ч). Тогда скорость течения реки летом составляет (x - 1) км/ч. Имеем
весной: катер идёт против течения со скоростью (v - x), по течению со скоростью (v + x). По условию первая скорость в 1²/₃ раза меньше, т.е.
(v + x)/(v - x) = 1²/₃;
летом: катер идёт против течения со скоростью (v - (x - 1)), по течению со скоростью (v + (x - 1)). По условию первая скорость в 1¹/₂ раза меньше, т.е.
(v + (x - 1))/(v - (x - 1)) = 1¹/₂.
Объединяем уравнения в систему и решаем её:

Ответ: 5

Пусть масса первого раствора \(x\;кг,\) второго – \(у\;кг.\) При смешивании растворов количество кислоты в смесях сохраняется. Вычисляем количество кислоты в растворах до и после смешивания, получившиеся "законы сохранения" для обоих случаев объединяем в систему уравнений. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10);\\ 0,45x+0,97y+0,50\cdot10 = 0,72(x+y+10). \end{cases}\] Систему решаем методом сложения уравнений. В данном случае вычтем из нижнего верхнее. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ 5 = 0,1x+0,1y+1; \end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ x+y = 40;\end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97(40-x) = 0,62(x+40-x+10),\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ \begin{cases} -0,52x = -7,8,\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ x = -7,8/(-0,52) = 15. \]

Первый автомобиль движется относительно второго со скоростью \( 70-40=30 (км/ч).\) Следовательно за 15 минут после обгона он удалится на расстояние \(30\cdot15:60 = 7,5 (км).\)

Решение.

Формула функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Требуется определить значение функции в точке, которая не видна на графике, поэтому нужно воспользоваться формулой. Для этого сначала нужно уточнить формулу, т.е. определить неизвестные коэффициенты квадратного трёхчлена.

Способ I.

Три неизвестных коэффициента можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, берём на графике три "удобные" точки и подставляем их координаты в формулу функции.
Точки "удобны", если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень хорошими точками являются вершина и точка пересечения с осью ординат. К сожалению, последняя на заданном участке графика также не видна.
На рисунке показаны выбранные мною точки, которые задают следующие соотношения \[x_в=-4\;\Rightarrow\;-\frac{b}{2a} = -4;\\ f(-3)=-2\; \Rightarrow\;a(-3)^2 + b(-3) + c = -2;\\ f(-2)=1\;\Rightarrow\;a(-2)^2 + b(-2) + c = 1.\] Получили ситему уравнений \[ \begin{cases} -\dfrac{b}{2a} = -4,\\ 9a -3b + c = -2,\\ 4a -2b + c = 1. \end{cases}\] Решаем её \[\begin{cases} b = 8a,\\9a -24a + c = -2,\\4a -16a + c = 1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8a,\\c = 15a-2,\\c = 12a+1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8a,\\0 = 3a-3,\\c = 12a+1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8,\\a = 1,\\c = 13.\\ \end{cases}\] Таким образом, уравнение функции имеет вид \(f(x)= x^2 + 8x + 13\), чтобы найти её значение в заданной точке, подставляем −12 в формулу \[f(-12)= (-12)^2 + 8\cdot(-12) +13 = 144-96+13 = 61.\]

Способ II.

Так как по графику хорошо считывается вершина параболы – точка с координатами (−4;−3), то имеет смысл вспомнить, что вершина параболы связана с коэффициентами квадратного трёхчлена формулами \[x_в = -\dfrac{b}{2a};\;y_в = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}.\] И формулу функции (квадратный трёхчлен) представить в преобразованном виде \[ax^2 + bx + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} = a(x-x_в)^2 + y_в = a(x+4)^2 -3.\] В формуле остался один неизвестный коэффициент. Чтобы найти его значение, считаем с графика координаты еще одной точки, например (−3;−2) и подставим их в уравнение. \[f(x) = a\left(x+4\right)^2 -3\\ -2 = a(-3+4)^2 -3\;\; \Rightarrow \;\; a = 1.\] Таким образом, формула приобрела вид \(f(x) = (x+4)^2 -3\). Подстановкой находим искомое значение \(f(-12) = (-12+4)^2 -3 = 64-3=61.\)

Ответ: 61

Наименьшее значение функции на отрезке может достигаться в точке минимума внутри отрезка или на одном из его краёв.

Ищем точку (точки, если их несколько), в которых производная равна нулю или не существует – точки возможных экстремумов.

\[y' = (9x - 9\ln{(x + 11)} + 7)' = 9 - \frac{9}{x+11} = \frac{9(x+10)}{x+11};\\ \frac{x+10}{x+11} = 0\; \Leftrightarrow \; x_1 = -10, \; x_2 = -11.\] Так как "подозрительных" точек внутри отрезка мало, точнее, всего одна \(x_1=-10\) (\(x_2<-10,5\)), то для поиска наименьшего значения бывает проще не определять тип экстремума, а сразу вычислить значение функции в этой точке и сравнить его с краевыми значениями.

Вычисляем
\(y(-10) = 9\cdot(-10) - 9\ln{(-10 + 11)} + 7 = -90 - 0 +7= -83;\\ y(-10,5) = 9\cdot(-10,5) - 9\ln{(-10,5 + 11)} + 7 = -94,5 -9\ln{0,5}+7 = -87,5+9\ln2;\\ y(0) = 9\cdot0 - 9\ln{(0 + 11)} + 7 = 7 - 9\ln11.\)

В результате сравнение осложнилось тем, что для окончательного вывода нужно оценить примерные значения ln2 и ln11. Это можно сделать, но явно не в условиях экзамена. Поэтому данная задача лучше решается по алгоритму определения точек экстремума, а именно

1) Вычисляем производную функции \(y' = \dfrac{9(x+10)}{x+11};\)

2) Определяем критические точки \(\dfrac{x+10}{x+11} = 0\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} x+10=0,\\x+11\ne0 \end{cases};\)
\(x_1 = -10, \; x_2 = -11\) – критичексие точки, в которых производная может изменять знак, потому что в первой она равна нулю, а во второй не существует.

3) Определяем промежутки знакопостоянства производной и, соответственно, промежутки возрастания/убывания функции. Это удобно делать на чертеже участка числовой оси

Чтобы определить знаки производной выбираем удобные для вычислений значения аргумента \(x\) внутри промежутка и подставляем их в формулу для производной, полученную в пункте 1).
\(y'(-10,5) = \dfrac{9(-10,5+10)}{-10,5+11} = -9 <0; \\ y'(-9) = \dfrac{9(-9+10)}{-9+11} = \dfrac{9}{2} = 4,5 >0 \\ y'(-12) = \dfrac{9(-12+10)}{-12+11} = \dfrac{-18}{-1} = 18 >0.\)

4) Делаем выводы: на заданном отрезке находится только точка минимума функции \(x = -10\), следовательно в ней и достигается наименьшее значение \(y(-10) = -83.\)

Замечание: Если всё-таки требуется оценить значения ln2 и ln11, нужно составить неравенства.
Вспомним, что натуральный логарифм - это логарифм по основанию \(e = 2,718...\) и функция lnx является монотонно возрастающей, поэтому
\(\sqrt{e} <2< e\; \Rightarrow \; 0,5<\ln2 < 1 \Rightarrow \; -87,5+9\ln2 > -87,5+9\cdot0,5 > -83;\\ e^2<11< e^3 \; \Rightarrow \; 2<\ln11 <3 \Rightarrow \; 7-9\ln11 > 7-9\cdot3 > -83.\)

1) \(y'=\left((x + 8)^2\cdot e^{3-x}\right)'=\left((x + 8)^2\right)'\cdot e^{3-x}+(x + 8)^2\cdot\left( e^{3-x}\right)' = \\ = 2(x+8)\cdot e^{3-x} +(x + 8)^2\cdot e^{3-x}\cdot(3-x)' = 2(x+8)\cdot e^{3-x} - (x + 8)^2\cdot e^{3-x} = \\= e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(2-x-8)=-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6);\)

2) \(-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6) = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;(x+8)(x+6)= 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_1 = -8,\;x_2 = -6; \)

3)

4) \(x_{max} = -6.\)

1) \(y'=\left(-\dfrac{x}{x^2+256}\right)'=-\dfrac{x'\cdot(x^2+256)-x\cdot(x^2+256)'}{(x^2+256)^2} =\\ = -\dfrac{1\cdot(x^2+256)-x\cdot(2x+0)}{(x^2+256)^2} = -\dfrac{x^2+256-2x^2}{(x^2+256)^2}=\dfrac{x^2-256}{(x^2+256)^2}; \)

2) \(\dfrac{x^2-256)}{(x^2+256)^2} = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;x^2-256 = 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_{1,2} = \pm16; \)

3)

4) \(x_{min} = 16.\)