ЕГЭ. Математика. Профильный уровень.

Искомый и заданные углы являются вписанными углами и измеряются половинами градусной меры дуг окружности, на которые они опираются.
Угол АBC опирается на дугу ADC, угол CAD опирается на дугу СD. Искомый угол ABD опирается на дугу AD. Как видно из чертежа, дуга AD равна разности дуг ADС и CD, следовательно \(\angle ABD = \angle ABC - \angle CAD = 103^{\circ} - 42^{\circ} = 61^{\circ}.\)

Способ I.

Проведём диагональ параллелограмма BD. Площадь треугольника ABD равна половине площади параллелограмма. В свою очередь, площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABD, т.к. отрезок BE является медианой в этом треугольнике. Таким образом, на треугольник ABE приходится четверть площади параллелограмма, а на трапецию BCDE, соответственно, три четверти. \[24\cdot \frac{3}{4} = 18.\]

Способ II.

Построим высоту параллелограмма HE, которая одновременно является высотой трапеции BCDE. Вычислим площадь трапеции по формулам \[\frac{ED + BC}{2}\cdot HE = \frac{ED\cdot HE + BC\cdot HE}{2} = \\ = \frac{0,5AD\cdot HE + BC\cdot HE}{2} = \frac{0,5S_{ABCD} + S_{ABCD}}{2} = \frac{0,5\cdot24 + 24}{2} =\frac{12 + 24}{2} = 18.\]

Найдём углы при основании этого равнобедренного треугольника \(\angle CAB = \angle CBA = (180 - 134):2 = 23^{\circ}\). Искомый угол CBD смежный с углом CBA, следовательно \(\angle CBD = 180 - \angle CBA = 180 - 23 = 157^{\circ}\).

Замечание.
Какой бы простой ни была задача, если есть возможность решить её иначе, следует сделать это для самопроверки. ЕГЭ – ответственный экзамен. Здесь в качестве альтернативного варианта можно использовать тот факт, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним, т.е. \(\angle CBD = \angle CAB + \angle ACB = 23 + 134 = 157^{\circ}\).

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям, следовательно по теореме Фалеса ВЕ = ED, поэтому отрезки МЕ и EN являются средними линиями треугольников ABD и BDC, соответственно. Отсюда получаем, что больший из них равен половине большего основания трапеции \(ME = AD:2 = 10:2 = 5.\)

Определяем по рисунку компоненты векторов:
a_x = 5 − 1 = 4; a_y = 8 − 2 = 6;
b_x = 11 − 5 = 6; b_y = 3 − 5 = −2.
Скалярное произведение по определению:
\(\overline{a} \cdot \overline{b}\) = a_x·b_x + a_y·b_y = 4·6 + 6·(−2) = 24 − 12 = 12.

Введём обозначение для результирующего вектора.
Пусть \(\overline{s} = \overline{a} − 4\overline{b}\), тогда
s_x = a_x − 4b_x = 25 − 4×1 = 21;
s_y = a_y − 4b_y = 0 − 4×(−5) = 20;
\(|\overline{s}| = \sqrt{(s_x^2 + s_y^2)} = \sqrt{(21^2+20^2)} = \sqrt{441+400} = \sqrt{841} = 29.\)

Объём цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\), где r - радиус цилиндра, а h - его высота.
Для решения задачи можно ввести переменные, обозначающие эти размеры кружек и решить задачу в общем виде, а можно просто выдумать их значения с учётом заданных соотношений. Поскольку в ответ требуется внести не абсолютные величины объёмов, а их отношение, то весь произвол нашей выдумки исчезнет в процессе сокращения дроби.
Пусть радиус первой кружки равен 10, а её высота 50, тогда радиус второй кружки равен 1,5×10 = 15, а её высота 50:2 = 25. Вычислим отношение объёмов: \[ \frac{\pi r_2^2\cdot h_2}{\pi r_1^2\cdot h_1} = \frac{\pi\cdot15^2\cdot25}{\pi\cdot10^2\cdot50} = \frac{225\cdot25}{100\cdot50} = 1,125.\]

Площадь поверхности пирамиды складывается из площади боковой поверхности и площади основания. В основании правильной четырёхугольной пирамиды находится квадрат, а боковая поверхность состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников. Для вычисления площади треугольника нам потребуется его высота, т.е. апофема пирамиды, которую легко вычислить по теореме Пифагора с учётом того, что в равнобедренном треугольнике эта высота является медианой, т.е. делит противоположную сторону пополам. \[ h^2 = 13^2 - 5^2 = 169-25=144; \;\; h = \sqrt{144} = 12; \\ S_{осн.} = 10^2 =100;\;\; S_{тр.} = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12 = 60; \\ S_{полн.} = S_{осн.}+4S_{тр.} = 100 + 4\cdot 60 =340. \]

Вспомним, что жидкость всегда принимает форму сосуда, в который она налита. Следовательно, "конус жидкости" полностью подобен "конусу сосуда" и можно воспользоваться правилами подобия: если линейные размеры подобных фигур относятся с коэффициентом \(k\), то их объёмы относятся с коэффициентом \(k^3\).

\[k = \frac{1}{3}; \;\; k^3 = \frac{1}{27}\] Следовательно, жидкость занимает только 27-ю часть сосуда, весь объём которго равен \(4\times27=108 (мл),\) и долить до полного заполнения нужно ещё \(108 - 4 = 104 (мл).\)

По определению вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число элементарных исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Событие "турист Д. пойдёт в магазин" является элементарным: один турист займёт одно из семи возможных мест для похода в магазин. Всего претендентов на это место 20, поэтому \(n = 20; \; m = 7; \;\;P =\dfrac{7}{20} =0,35.\)

Событие "в автобусе окажется меньше 20 пассажиров" реализуется в двух вариантах "в автобусе окажется меньше 15 пассажиров" ИЛИ "число пассажиров будет от 15 до 19". Т.е. первое событие яваляется суммой двух других, а поскольку они несовместимы, то можно перейти к сумме вероятностей, обозначив неизвестную вероятность переменной \(x.\) \[0,94 = 0,56 + x;\;\;x = 0,94-0,56=0,38.\]

Решение.

Событие A = "хотя бы одна лампа не перегорит" противоположно событию "перегорят все три лампы". Вероятность последнего легко вычислить по теореме умножения вероятностей. \[P\left(\overline{A}\right) = 0,2\cdot0,2\cdot0,2 = 0,008;\\ P\left(A\right) = 1-0,008 = 0,992.\]

Решение. Способ I.

Напомню, что правила умножения и сложения вероятностей ещё называют И/ИЛИ-правилами. Опишем событие с помощью этих союэов.
Всего в коробке 5+9+11=25 карандашей. Выбирают два из них неважно одновременно или последовательно, предположим последовательно.
Событие A = "Выбрали из 25 карандашей один синий И из оставшихся 24 карандашей один красный ИЛИ Выбрали из 25 карандашей один красный И из оставшихся 24 карандашей один синий". Тогда \[P = \frac{5}{25}\cdot\frac{9}{24} + \frac{9}{25}\cdot\frac{5}{24} = \frac{2\cdot5\cdot9}{25\cdot24} = \frac{90}{600} = 0,15.\]

Решение. Способ II.

Выше классическое определение вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию, использовалось для вычисления вероятности выбора одного карандаша на каждом шаге. Если подсчитать число возможных исходов при одномоментном выборе пары карандашей, то можно решить всю задачу по определению вероятности. Для этого нужно воспользоваться знаниями из раздела комбинаторика.
Общее число исходов определяем как число сочетаний из 25 карандашей по 2 \(n = С_{25}^{2} = \dfrac{25!}{2!\cdot(25-2)!} =\dfrac{24\cdot 25}{1\cdot2}=300.\)
Число благоприятствующих исходов определяем как произведение числа синих карандашей на число красных \(m=5\cdot 9 = 45.\) (Каждому из 5-ти синих карандашей можно подобрать в пару один из 9-ти красных.) Следовательно \(P =\dfrac{m}{n}=\dfrac{45}{300} = 0,15.\)

\[64 = 4^3;\;\; \frac{1}{64} = 4^{-3};\;\;\Large{\Rightarrow}\\ 4^{x - 7} = 4^{-3};\;\; x - 7 = -3;\;\;x = 7-3 = 4.\]

\[ОДЗ: 3x+49 \ge 0. \\3x+49 = 100; \;\; 3x = 51; \;\; x = 17.\]

По определению логарифма \( 8^3 = 5x+47.\)
\(5x+47 = 512;\;\;5x=465;\;\;x=93.\)

\[ОДЗ: \begin{cases} 2x+3 \ge 0; \\ x \ge 0. \end{cases} \\2x+3 = x^2; \;\; x^2 - 2x -3 =0.\] По теореме Виета \(x_1\cdot x_2 = -3;\;\; x_1+x_2 = 2,\) подходят значения \(x_1 = -1;\;\; x_2 = 3.\)
\(x_1 < 0\) не удовлетворяет ОДЗ, следовательно уравнение имеет один корень \(x = 3.\)

\[\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = (1-\sin^2{\alpha})- \sin^2{\alpha} = \\ =1-2\sin^2{\alpha} = 1-2\cdot0,2^2 = 1-0,08 = 0,92;\\3\cos{2\alpha} = 3\cdot0,92 = 2,76.\]

Вспомним свойства логарифмов, а именно формулу перехода к другому основанию \( \log_a{b} = \dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.\)
При внимательном изучении выражения в условии задачи именно её и обнаруживаем \( \log_7{28} = \dfrac{\log_9{28}}{\log_9{7}}.\) Следовательно \[\frac{\log_9{28}}{\log_9{7}} + \log_7{\frac{7}{4}} =\log_7{28} + \log_7{7} -\log_7{4} = \log_7{7}+ \log_7{\frac{28}{4}} =2\log_7{7} = 2.\]

\[25^{2\sqrt{8}+3}\cdot5^{-3-4\sqrt{8}} =(5^2)^{2\sqrt{8}+3}\cdot5^{-3-4\sqrt{8}} =5^{2(2\sqrt{8}+3)}\cdot5^{-3-4\sqrt{8}} =\\ 5^{4\sqrt{8}+6+(-3-4\sqrt{8})} =5^{4\sqrt{8}+6-3-4\sqrt{8}} = 5^3 = 125.\]

На промежутках возрастания функции её производная положительна. Так как на графике представлена именно производная функции, то нас интересуют промежутки, на которых она положительна. Выделяем эти промежутки и отмечаем принадлежащие им точки на рисунке. Нашлось шесть.

Точка \(x_0\) расположена на участке убывания функции, следовательно ответ должен быть со знаком "минус".

Для получения абсолютной величины числа нужно построить на клеточках прямоугольный треугольник так, чтобы его гипотенуза располагалась на касательной, а вершины строго в узлах клеток. Отношение длины катета, параллельного оси Oy к длине катета, параллельного оси Oх, даёт значение тангенса нужного угла.

AC___BC = 7_5.

\[f'(x_0) = -\frac{7}{5} = -1,4.\]

Первым делом убеждаемся в том, что размерности всех величин в формуле, в условии задачи и в вопросе заданы в единой системе единиц. Если требуется, например, переход от километров к метрам или от секунд к часам, выполняем соответствующие вычисления.

Анализируя условие задачи, вычисляем частоту второго гудка \(f = 295 + 5 = 300\;(Гц).\)
(Частота второго гудка больше. Человек смог различить сигналы, значит больше минимум на 5 Гц.)

Подставляем в формулу числовые значения \[300 = \frac{295}{1-\dfrac{v}{300}}\;\text{(Гц).}\] Решаем получившееся уравнение относительно неизвестной \(v\). \[300\cdot\left(1-\dfrac{v}{300}\right) = 295;\\ 300-v = 295; \;\; v=5(м/с).\]

Обозначим символом \(v\) скорость лодки в неподвижной воде, тогда против течения она шла со скоростью \(v-1\) и затратила на это \(t_1=\dfrac{143}{v-1}\) часа, а по течению шла со скоростью \(v+1\) и прошла этот же путь за \(t_2=\dfrac{143}{v+1}\) часа. По условию задачи разница во времени составила 2 часа: \(t_1 - t_2 = 2.\) Составляем и решаем уравнение: \[\frac{143}{v-1}-\frac{143}{v+1} =2; \\ 143\cdot(v+1) - 143\cdot(v-1) = 2\cdot(v-1)\cdot(v+1); \\ 143(v+1-v+1) = 2(v^2-1);\;\; 143 = v^2-1;\;\; v = \sqrt{144} = 12.\]

Пусть масса первого раствора \(x\;кг,\) второго – \(у\;кг.\) При смешивании растворов количество кислоты в смесях сохраняется. Вычисляем количество кислоты в растворах до и после смешивания, получившиеся "законы сохранения" для обоих случаев объединяем в систему уравнений. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10);\\ 0,45x+0,97y+0,50\cdot10 = 0,72(x+y+10). \end{cases}\] Систему решаем методом сложения уравнений. В данном случае вычтем из нижнего верхнее. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ 5 = 0,1x+0,1y+1; \end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ x+y = 40;\end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97(40-x) = 0,62(x+40-x+10),\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ \begin{cases} -0,52x = -7,8,\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ x = -7,8/(-0,52) = 15. \]

Пусть первая труба пропускает \(x\) литров воды в минуту, а вторая – \(x+5\) литров. Тогда первая труба заполнит резервуар за \(\dfrac{104}{x}\) минут, а вторая за \(\dfrac{104}{x+5}\) минут. По условию разница во времени составляет 5 минут. Составляем и решаем уравнение: \[\frac{104}{x}-\frac{104}{x+5} =5; \\ 104\cdot(x+5) - 104\cdot x = 5\cdot x\cdot(x+5); \\ 104(x+5-x) = 5(x^2+ 5x); \;\; 104 = x^2+ 5x \\ x^2+ 5x - 104 = 0.\] Получившееся квадратное уравнение можно решить через дискриминант или по теореме Виета, так как оно является приведенным.
По теореме Виета −104 = −13×8; −(−13+8) = 5. Так как отрицательный ответ в этой задаче не имеет смысла, то \(x = 8\).

Решение.

Восстановим точные значения неизвестных коэффициентов в формулах обеих функций.
Формула первой функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Три неизвестных коэффициента квадратного трёхчлена можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, достаточно определить координаты трёх точек параболы и поочерёдно подставить их в формулу функции.
Только необходимо выбирать точки "удобные" для решения задания в условиях ЕГЭ. Точки "удобны", если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень удобными теоретическими точками являются вершина и точки пересечения с осями координат.

В нашем случае хорошо видны две точки пересечения с осью абсцисс, т.е. корни уравнения, следовательно квадратный трёхчлен можно представить в виде разложения на множители \[ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2) = a(x-0)(x-4) = ax^2-4ax.\] Таким образом, осталось определить лишь один коэффициент \(a\), который отвечает за сжатие/растяжение параболы вдоль оси \(Oy\) относительно графика функции \(y=x^2\). Это сделать легко, если вершина параболы имеет целые координаты (проходит через узел сетки на рисунке). Отступаем на одну клетку вправо от вершины и определяем расстояние до графика вдоль оси ординат. Это и есть искомый коэффициент \(a = y(x_в + 1) - y_в.\) По рисунку видно, что здесь \(a = 1\).

График второй функции – прямая. В общем случае прямая определяется двумя точками и, соответственно, уравнение содержит два коэффициента. Здесь ситуация проще: так как прямая проходит через начало координат, то нужно определить только угловой коэффициент \(k\). Чтобы определить этот коэффициент, отступаем на одну клетку вправо от точки пересечения прямой с осью абсцисс и определяем расстояние до графика вдоль оси ординат \(k = \dfrac{y(1)}{1} = 3\).

Итак, нам нужно найти точки пересечения графиков функций \(f(x) = x^2-4x\) и \(g(x) = 3x\). Для этого решим систему уравнений \[\begin{cases} y = x^2-4x;\\ y = 3x; \end{cases}\] Поскольку требуется определить абсциссу точки B, т.е. \(x_B\), то применяем метод подстановки: \[3x = x^2-4x; \;\; x^2-7x = 0;\;\; x_1 = 0; x_2 = 7.\] Абсциссу 0 имеет точка A, которая видна на рисунке, следовательно абсцисса точки В равна 7.

Наименьшее значение функции на отрезке может достигаться в точке минимума внутри отрезка или на одном из его краёв.

Ищем точку (точки, если их несколько), в которых производная равна нулю или не существует – точки возможных экстремумов.

\[y' = (9x - 9\ln{(x + 11)} + 7)' = 9 - \frac{9}{x+11} = \frac{9(x+10)}{x+11};\\ \frac{x+10}{x+11} = 0\; \Leftrightarrow \; x_1 = -10, \; x_2 = -11.\] Так как "подозрительных" точек внутри отрезка мало, точнее, всего одна \(x_1=-10\) (\(x_2<-10,5\)), то для поиска наименьшего значения бывает проще не определять тип экстремума, а сразу вычислить значение функции в этой точке и сравнить его с краевыми значениями.

Вычисляем
\(y(-10) = 9\cdot(-10) - 9\ln{(-10 + 11)} + 7 = -90 - 0 +7= -83;\\ y(-10,5) = 9\cdot(-10,5) - 9\ln{(-10,5 + 11)} + 7 = -94,5 -9\ln{0,5}+7 = -87,5+9\ln2;\\ y(0) = 9\cdot0 - 9\ln{(0 + 11)} + 7 = 7 - 9\ln11.\)

В результате сравнение осложнилось тем, что для окончательного вывода нужно оценить примерные значения ln2 и ln11. Это можно сделать, но явно не в условиях экзамена. Поэтому данная задача лучше решается по алгоритму определения точек экстремума, а именно

1) Вычисляем производную функции \(y' = \dfrac{9(x+10)}{x+11};\)

2) Определяем критические точки \(\dfrac{x+10}{x+11} = 0\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} x+10=0,\\x+11\ne0 \end{cases};\)
\(x_1 = -10, \; x_2 = -11\) – критичексие точки, в которых производная может изменять знак, потому что в первой она равна нулю, а во второй не существует.

3) Определяем промежутки знакопостоянства производной и, соответственно, промежутки возрастания/убывания функции. Это удобно делать на чертеже участка числовой оси

Чтобы определить знаки производной выбираем удобные для вычислений значения аргумента \(x\) внутри промежутка и подставляем их в формулу для производной, полученную в пункте 1).
\(y'(-10,5) = \dfrac{9(-10,5+10)}{-10,5+11} = -9 <0; \\ y'(-9) = \dfrac{9(-9+10)}{-9+11} = \dfrac{9}{2} = 4,5 >0 \\ y'(-12) = \dfrac{9(-12+10)}{-12+11} = \dfrac{-18}{-1} = 18 >0.\)

4) Делаем выводы: на заданном отрезке находится только точка минимума функции \(x = -10\), следовательно в ней и достигается наименьшее значение \(y(-10) = -83.\)

Замечание: Если всё-таки требуется оценить значения ln2 и ln11, нужно составить неравенства.
Вспомним, что натуральный логарифм - это логарифм по основанию \(e = 2,718...\) и функция lnx является монотонно возрастающей, поэтому
\(\sqrt{e} <2< e\; \Rightarrow \; 0,5<\ln2 < 1 \Rightarrow \; -87,5+9\ln2 > -87,5+9\cdot0,5 > -83;\\ e^2<11< e^3 \; \Rightarrow \; 2<\ln11 <3 \Rightarrow \; 7-9\ln11 > 7-9\cdot3 > -83.\)

1) \(y'=\left((x + 8)^2\cdot e^{3-x}\right)'=\left((x + 8)^2\right)'\cdot e^{3-x}+(x + 8)^2\cdot\left( e^{3-x}\right)' = \\ = 2(x+8)\cdot e^{3-x} +(x + 8)^2\cdot e^{3-x}\cdot(3-x)' = 2(x+8)\cdot e^{3-x} - (x + 8)^2\cdot e^{3-x} = \\= e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(2-x-8)=-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6);\)

2) \(-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6) = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;(x+8)(x+6)= 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_1 = -8,\;x_2 = -6; \)

3)

4) \(x_{max} = -6.\)

1) \(y'=\left(-\dfrac{x}{x^2+256}\right)'=-\dfrac{x'\cdot(x^2+256)-x\cdot(x^2+256)'}{(x^2+256)^2} =\\ = -\dfrac{1\cdot(x^2+256)-x\cdot(2x+0)}{(x^2+256)^2} = -\dfrac{x^2+256-2x^2}{(x^2+256)^2}=\dfrac{x^2-256}{(x^2+256)^2}; \)

2) \(\dfrac{x^2-256)}{(x^2+256)^2} = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;x^2-256 = 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_{1,2} = \pm16; \)

3)

4) \(x_{min} = 16.\)