ЕГЭ. Математика. Профильный уровень.

Объём цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\), где r - радиус цилиндра, а h - его высота.
Для решения задачи можно ввести переменные, обозначающие эти размеры кружек и решить задачу в общем виде, а можно просто выдумать их значения с учётом заданных соотношений. Поскольку в ответ требуется внести не абсолютные величины объёмов, а их отношение, то весь произвол нашей выдумки исчезнет в процессе сокращения дроби.
Пусть радиус первой кружки равен 10, а её высота 50, тогда радиус второй кружки равен 1,5×10 = 15, а её высота 50:2 = 25. Вычислим отношение объёмов: \[ \frac{\pi r_2^2\cdot h_2}{\pi r_1^2\cdot h_1} = \frac{\pi\cdot15^2\cdot25}{\pi\cdot10^2\cdot50} = \frac{225\cdot25}{100\cdot50} = 1,125.\]

Указанный многогранник – пирамида. Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \dfrac{1}{3}Sh\), где S - площадь основания ABCD. \(S = 3\times9 = 27\). h – высота, совпадающая с ребром \(AA1 = 4\).
\(V = \dfrac{1}{3}Sh = \dfrac{27\cdot 4}{3} = 36\).

Вспомним, что жидкость всегда принимает форму сосуда, в который она налита. Следовательно, "конус жидкости" полностью подобен "конусу сосуда" и можно воспользоваться правилами подобия: если линейные размеры подобных фигур относятся с коэффициентом \(k\), то их объёмы относятся с коэффициентом \(k^3\).

\[k = \frac{1}{3}; \;\; k^3 = \frac{1}{27}\] Следовательно, жидкость занимает только 27-ю часть сосуда, весь объём которго равен \(4\times27=108 (мл),\) и долить до полного заполнения нужно ещё \(108 - 4 = 104 (мл).\)

Прямой круговой конус является телом вращения прямоугольного треугольника. В данном случае он вписан в сферу так, что оба его катета совпадают с радиусами сферы.
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника при известной длине гипотенузы можно найти по теореме Пифагора или по значениям тригонометрических функций угла 45°. \[ \frac{r}{l} = \sin{45^{\circ};\;\;\frac{r}{9\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}}; \\\ 2\cdot r = 9\cdot\sqrt{2}^2; \;\; r = 9.\]

По определению вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число элементарных исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Событие "турист В. полетит первым рейсом" является элементарным: один турист займёт одно из пяти доступных мест в вертолёте. Всего претендентов на эти места 50, поэтому \(n = 50; \; m = 5; \;\;P =\dfrac{5}{50} =0,1.\)

Событие "в автобусе окажется меньше 20 пассажиров" реализуется в двух вариантах "в автобусе окажется меньше 15 пассажиров" ИЛИ "число пассажиров будет от 15 до 19". Т.е. первое событие яваляется суммой двух других, а поскольку они несовместимы, то можно перейти к сумме вероятностей, обозначив неизвестную вероятность переменной \(x.\) \[0,94 = 0,56 + x;\;\;x = 0,94-0,56=0,38.\]

На седьмое место могут попасть все 3+4+3=10 докладчиков. Из них 3 из Болгарии. Аналогично первому примеру:
\(n = 10; \; m = 3; \;\;P =\dfrac{3}{10} =0,3.\)

Решение.

Событие A = "хотя бы одна лампа не перегорит" противоположно событию "перегорят все три лампы". Вероятность последнего легко вычислить по теореме умножения вероятностей. \[P\left(\overline{A}\right) = 0,7\cdot0,7\cdot0,7 = 0,343;\\ P\left(A\right) = 1-0,343 = 0,657.\]

Решение. Способ I.

Напомню, что правила умножения и сложения вероятностей ещё называют И/ИЛИ-правилами. Опишем событие с помощью этих союэов.
Всего в коробке 5+9+11=25 карандашей. Выбирают два из них неважно одновременно или последовательно, предположим последовательно.
Событие A = "Выбрали из 25 карандашей один синий И из оставшихся 24 карандашей один красный ИЛИ Выбрали из 25 карандашей один красный И из оставшихся 24 карандашей один синий". Тогда \[P = \frac{5}{25}\cdot\frac{9}{24} + \frac{9}{25}\cdot\frac{5}{24} = \frac{2\cdot5\cdot9}{25\cdot24} = \frac{90}{600} = 0,15.\]

Решение. Способ II.

Выше классическое определение вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию, использовалось для вычисления вероятности выбора одного карандаша на каждом шаге. Если подсчитать число возможных исходов при одномоментном выборе пары карандашей, то можно решить всю задачу по определению вероятности. Для этого нужно воспользоваться знаниями из раздела комбинаторика.
Общее число исходов определяем как число сочетаний из 25 карандашей по 2 \(n = С_{25}^{2} = \dfrac{25!}{2!\cdot(25-2)!} =\dfrac{24\cdot 25}{1\cdot2}=300.\)
Число благоприятствующих исходов определяем как произведение числа синих карандашей на число красных \(m=5\cdot 9 = 45.\) (Каждому из 5-ти синих карандашей можно подобрать в пару один из 9-ти красных.) Следовательно \(P =\dfrac{m}{n}=\dfrac{45}{300} = 0,15.\)

Масса буханки окажется больше 790 г в двух случаях, если она будет больше 790 г, но меньше 810 г ИЛИ больше 810 г. Т.о. будем иметь дело с суммой событий.
Введём обозначения:

Событие A = "масса буханки окажется больше 790 г", P(A) = 0,84.

Событие B = "её масса окажется меньше 810 г", P(B) = 0,95.

\(\overline{B}\) – событие противоположное B, т.е. "масса буханки окажется больше 810 г". Вероятность противоположного события 1 − Р(B).

Событие C = "масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г", P(С) = \(x\).

Тогда \(A = C + \overline{B}\). Так как события C и \(\overline{B}\) несовместимы, можем перейти от суммы событий к сумме вероятностей. \[P(A) = P(C) + Р(\overline{B}) = P(C) + 1 - Р(B) \\\ 0,84 = x + 1-0,95; \;\; 0,84 -1 +0,95 = x; \;\; x = 0,79.\]

События A = "кофе закончится в первом автомате" и B = "кофе закончится во втором автомате" не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нём закончится скорее.
По условию задачи P(A) = P(B) = 0,2; P(AB) = 0,18
Событие "кофе останется в двух автоматах" противоположно событию "кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих". Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий.
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,2 + 0,2 − 0,18 = 0,22
Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,22 = 0,78.

Другой способ решения этой задачи можно посмотреть здесь.

\[\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = 81; \\\ \frac{1}{3^{3-x}} =3^4 \\\ 3^{x-3} = 3^4;\;\; x-3 = 4;\;\; x = 7.\]

\[ОДЗ: 44-5x \ge 0. \\44 - 5x = 9; \;\; -5x = -35; \;\; x = 7.\]

По определению логарифма \( 8^3 = 5x+47.\)
\(5x+47 = 512;\;\;5x=465;\;\;x=93.\)

\[ОДЗ: \begin{cases} 2x+3 \ge 0; \\ x \ge 0. \end{cases} \\2x+3 = x^2; \;\; x^2 - 2x -3 =0.\] По теореме Виета \(x_1\cdot x_2 = -3;\;\; x_1+x_2 = 2,\) подходят значения \(x_1 = -1;\;\; x_2 = 3.\)
\(x_1 < 0\) не удовлетворяет ОДЗ, следовательно уравнение имеет один корень \(x = 3.\)

\(\dfrac{13\pi}{12} = \pi + \dfrac{\pi}{12}\)
По формулам приведения \(\sin{(\pi + \alpha)} = -\sin(\alpha);\;\;\cos{(\pi + \alpha)} = -\cos(\alpha)\)
\[3\sin{\frac{13\pi}{12}}\cdot\cos{\frac{13\pi}{12}} = 3\sin{\frac{\pi}{12}}\cdot\cos{\frac{\pi}{12}} = \\ = \frac{3\cdot2sin{\frac{2\pi}{12}}}{2} = \frac{3}{2}\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2} = 0,75 .\]

Вспомним свойства логарифмов, а именно формулу перехода к другому основанию \( \log_a{b} = \dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}.\) При внимательном изучении выражения в условии задачи именно её и обнаруживаем \( \log_2{32} = \dfrac{\log_7{32}}{\log_7{2}}.\)
\(\log_2{32} = 5\).

\[25^{2\sqrt{8}+3}\cdot5^{-3-4\sqrt{8}} =(5^2)^{2\sqrt{8}+3}\cdot5^{-3-4\sqrt{8}} =5^{2(2\sqrt{8}+3)}\cdot5^{-3-4\sqrt{8}} =\\ 5^{4\sqrt{8}+6+(-3-4\sqrt{8})} =5^{4\sqrt{8}+6-3-4\sqrt{8}} = 5^3 = 125.\]

Выделяем требуемый отрезок и отмечаем в его пределах точки, в которых график производной функции пересекает ось Ox. В этих точках f'(x) = 0, следовательно функция имеет экстремумы. Функция имеет максимумы в тех из них, где знак производной меняется с положительного на отрицательный, т.е. участок возрастания функции сменяется участком убывания. Именно эти точки показаны на рисунке. Их пять.

На промежутках возрастания функции её производная положительна. Так как на графике представлена именно производная функции, то нас интересуют промежутки, на которых она положительна. Выделяем эти промежутки и отмечаем принадлежащие им точки на рисунке. Нашлось шесть.

Чтобы не ошибиться со знаком производной, нужно сначала обратить внимание, на каком участке находится точка х₀. Здесь точка расположена на участке возрастания функции, следовательно ответ будет со знаком "плюс".
Для получения абсолютной величины числа нужно построить на клеточках прямоугольный треугольник так, чтобы его гипотенуза располагалась на касательной, а вершины строго в узлах клеток. Отношение длины катета, параллельного оси Oy к длине катета, параллельного оси Oх, даёт значение тангенса нужного угла.

AC___BC = 8_5.

\[f'(x_0) = \frac{8}{5} = 1,6.\]

Обратите внимание, что единицы измерения времени (час) и расстояния (км) формуле и числовых данных согласованы, но ответ нужно дать в минутах. Это означает, что числа можно подставлять в формулу как есть, а ответ нужно будет преобразовать.

Подставляем известные числовые значения в формулу \[S = v_0 t + \frac{at^2}{2} \\ 72 = 90\cdot t + \frac{16\cdot t^2}{2}\] Получилось квадратное уравнение относительно переменной t.
Преобразуем его к стандартному виду и решаем \[8t^2 + 90t - 72 =0; \\ 4t^2 + 45t - 36 =0; \\ D = 45^2 +4\cdot4\cdot36 = 2025 + 576 =2601; \sqrt{2601} = 51; \\ t_1 = \frac{-45 + 51}{2\cdot4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}; \;\; t_2 = \frac{-45 - 51}{2\cdot4} = -\frac{96}{8} = -12.\] По смыслу подходит корень \(t_1 = \dfrac{3}{4}\text{ (час)} = \dfrac{3}{4}\cdot60 = 45\text{ (минут)}\).

Первым делом убеждаемся в том, что размерности всех величин в формуле, в условии задачи и в вопросе заданы в единой системе единиц. (Вычисления для перехода от километров к метрам или от секунд к часам здесь не потребуются.)

Анализируя условие задачи, вычисляем частоту второго гудка \(f = 295 + 5 = 300\;(Гц).\)
(Частота второго гудка больше. Человек смог различить сигналы, значит больше минимум на 5 Гц.)

Подставляем в формулу числовые значения \[300 = \frac{295}{1-\dfrac{v}{300}}\;\text{(Гц).}\] Решаем получившееся уравнение относительно неизвестной \(v\). \[300\cdot\left(1-\dfrac{v}{300}\right) = 295;\\ 300-v = 295; \;\; v=5(м/с).\]

Проверяем размерности переменных в формуле и числовых данных в условии задачи. Они согласованы, подставляем числа в формулу.

v = \(\sqrt{2la}\);
\(70 = \sqrt{2\cdot0,5\cdot a}\)
Решаем получившееся уравнение относительно неизвестной \(a\).

\(70^2 = 2\cdot0,5\cdot a;\;\; 4900 = 1\cdot a;\;\; a = 4900.\)

Анализ данныx в задачах на движение облегчает структурирование их по типу таблицы.
Пусть скорость первого теплохода – x км/час. С учётом этого имеем:

	S, км	v, км/ч	tдвижения, ч	tзадержки, ч
Первый теплоход	323	x	\(\dfrac{323}{x}\)	0
Второй теплоход	323	x+2	\(\dfrac{323}{x+2}\)	0+2

В пункт назначения теплоходы прибыли одновременно, значит t_{движения первого} = t_{движения второго} + t_{задержки второго}.

Составляем и решаем уравнение \[\frac{323}{x} = \frac{323}{x+2} + 2; \\ 323(x+2) = 323x + 2x(x+2); \\ 323x + 646 = 323x + 2x^2 + 4x; \\ 2x^2 + 4x - 646 = 0; \\ x^2 + 2x - 323 = 0; \\ D = 2^2 + 4\cdot323 = 324\cdot4; \;\; \sqrt{D} = \sqrt{324\cdot4} = 18\cdot2 = 36; \\ x_1 = \frac{-2 + 36}{2} = 17; \;\;x_2 = \frac{-2 - 36}{2} = -19.\] Имеет смысл \(x = 17\), значит скорость второго теплохода \(x + 2 = 17 + 2 = 19\).

Пусть масса первого раствора \(x\;кг,\) второго – \(у\;кг.\) При смешивании растворов количество кислоты в смесях сохраняется. Вычисляем количество кислоты в растворах до и после смешивания, получившиеся "законы сохранения" для обоих случаев объединяем в систему уравнений. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10);\\ 0,45x+0,97y+0,50\cdot10 = 0,72(x+y+10). \end{cases}\] Систему решаем методом сложения уравнений. В данном случае вычтем из нижнего верхнее. \[\begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ 5 = 0,1x+0,1y+1; \end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97y = 0,62(x+y+10),\\ x+y = 40;\end{cases} \\ \begin{cases} 0,45x+0,97(40-x) = 0,62(x+40-x+10),\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ \begin{cases} -0,52x = -7,8,\\ y = 40 -x; \end{cases} \\ x = -7,8/(-0,52) = 15. \]

Пусть первая труба пропускает \(x\) литров воды в минуту, а вторая – \(x+5\) литров. Тогда первая труба заполнит резервуар за \(\dfrac{104}{x}\) минут, а вторая за \(\dfrac{104}{x+5}\) минут. По условию разница во времени составляет 5 минут. Составляем и решаем уравнение: \[\frac{104}{x}-\frac{104}{x+5} =5; \\ 104\cdot(x+5) - 104\cdot x = 5\cdot x\cdot(x+5); \\ 104(x+5-x) = 5(x^2+ 5x); \;\; 104 = x^2+ 5x \\ x^2+ 5x - 104 = 0.\] Получившееся квадратное уравнение можно решить через дискриминант или по теореме Виета, так как оно является приведенным.
По теореме Виета −104 = −13×8; −(−13+8) = 5. Так как отрицательный ответ в этой задаче не имеет смысла, то \(x = 8\).

Решение.

Чтобы найти один неизвестный коэффициент в формуле, достаточно подставить в неё координаты одной точки. Точку следует искать на пересечении графика с узлами сетки. Это обеспечивает точность определения координат и упрощает вычисления, т.к. считаны будут целые числа.
Поскольку экзамен не проверяет "глазомер", а математика любит точность, на графиках в условии задачи уже могут быть отмечены некоторые точки, попадание которых в узел сетки гарантируют разработчики задания. В частности, здесь отмечена точка A{3;1}. \[y=f(x)=\frac{k}{x} \Rightarrow 1 =\frac{k}{3};\; k = 3.\] На этом рисунке также хорошо видна точка В{1;3}. Её можно, а в более сложных случаях нужно, использовать для проверки. \[y=f(x)=\frac{k}{x} \Rightarrow 3 =\frac{k}{1};\; k = 3.\] Таким образом, восстановлена формула \(f(x)=\dfrac{3}{x}\), в которую можно подставлять значения \(x\) и определять соответствующий \(y\) для любой точки. \[f(x)=\frac{3}{x} \Rightarrow f(30) = \frac{3}{30} = 0,1.\]

Решение.

Восстановим точные значения неизвестных коэффициентов в формулах обеих функций.
Формула первой функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Три неизвестных коэффициента квадратного трёхчлена можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, достаточно определить координаты трёх точек параболы и поочерёдно подставить их в формулу функции.
Только необходимо выбирать точки "удобные" для решения задания в условиях ЕГЭ. Точки "удобны", если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень удобными теоретическими точками являются вершина и точки пересечения с осями координат.

В нашем случае хорошо видны две точки пересечения с осью абсцисс, т.е. корни уравнения, следовательно квадратный трёхчлен можно представить в виде разложения на множители \[ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2) = a(x-0)(x-2) = ax^2-2ax.\] Таким образом, осталось определить лишь один коэффициент \(a\), который отвечает за сжатие/растяжение параболы вдоль оси \(Oy\) относительно графика функции \(y=x^2\). Это сделать легко, если вершина параболы имеет целые координаты (проходит через узел сетки на рисунке). Отступаем на одну клетку вправо от вершины и определяем расстояние до графика вдоль оси ординат. Это и есть искомый коэффициент \(a = y(x_в + 1) - y_в.\) По рисунку видно, что здесь \(a = 1\).

Итак, график параболы здесь задан формулой \(f(x) = x^2-2x\). Однако в наших рассуждениях мы использовали две точки, которые были отмечены разработчиками, а третью - положение вершины на целых координатах - оценили "на глаз". Поэтому сделаем проверку ещё по одной точке {3;3}, отмеченной разработчиками на параболе. \[f(x)=x^2-2x \Rightarrow 3 = 3^2 - 2\cdot3;\; 3=9-6;\;3\equiv3.\]

График второй функции – прямая. В общем случае прямая определяется двумя точками и, соответственно, уравнение содержит два коэффициента. Здесь ситуация проще: так как прямая проходит через начало координат, то нужно определить только угловой коэффициент \(k\). Чтобы определить этот коэффициент, отступаем на одну клетку вправо от точки пересечения прямой с осью абсцисс и определяем расстояние до графика вдоль оси ординат \(k = \dfrac{y(1)}{1} = 3\). При этом ещё и попали в отмеченную точку, поэтому точное уравнение прямой здесь \(g(x) = 3x\).

Теперь нужно найти точки пересечения графиков функций \(f(x) = x^2-2x\) и \(g(x) = 3x\). Для этого решим систему уравнений \[\begin{cases} y = x^2-2x;\\ y = 3x; \end{cases}\] Поскольку требуется определить абсциссу точки B, т.е. \(x_B\), то применяем метод подстановки: \[3x = x^2-2x; \;\; x^2-5x = 0;\;\; x_1 = 0; x_2 = 5.\] Абсциссу 0 имеет точка A, которая видна на рисунке, следовательно абсцисса точки В равна 5.

Решение.

В этом примере, как и в первом, нужно определить только один параметр в формуле. Обратите внимание, что авторы задания отметили две точки, но одна из них окажется бесполезной и не позволит определить параметр \(a\), потому что любое число в степени 0 есть 1. Используем точку с координатами {1;2}. \[f(x)=a^x \Rightarrow 2 = a^1;\; a = 2.\] Чтобы убедиться, что это действительно функция \(f(x)=2^x\), можно проверить ординаты точек с абсциссами 2 и 3.
\[f(x)=2^x \Rightarrow f(5) = 2^5 = 32.\]

Область определения логарифма ограничена \(x-4\gt 0\), поэтому все дальнейшие действия выполняем в пределах диапазона \(x \in (4;+\infty)\).

1) Вычисляем производную функции \(y' = 9\dfrac{1}{x-4} -9 = \dfrac{45-9x}{x-4};\)

2) Определяем критические точки \(\dfrac{45-9x}{x-4} = 0\; \Leftrightarrow \; \begin{cases} 45-9x=0,\\x-4\ne0 \end{cases};\)
\(x_1 = 5, \; x_2 = 4\) – критичеcкие точки, в которых производная может изменять знак, потому что в первой она равна нулю, а во второй не существует.

3) Определяем промежутки знакопостоянства производной и, соответственно, промежутки возрастания/убывания функции. Это удобно делать на чертеже участка числовой оси

Чтобы определить знаки производной выбираем удобные для вычислений значения аргумента \(x\) внутри промежутка и подставляем их в формулу для производной, полученную в пункте 1).
\(y'(4,5) = \dfrac{45 - 9\cdot4,5}{4,5-4} = 9 >0; \\ y'(6) = \dfrac{45 - 9\cdot6}{6-4} = - 4,5 <0.\)

4) Делаем выводы: функция возрастает при \(x<5\) и убывает при \(x>5\). Точка, в которой участок возрастания сменяется участком убывания и является точкой максимума функции. Итак, \(x = 5\).

1) \(y'=\left((x + 8)^2\cdot e^{3-x}\right)'=\left((x + 8)^2\right)'\cdot e^{3-x}+(x + 8)^2\cdot\left( e^{3-x}\right)' = \\ = 2(x+8)\cdot e^{3-x} +(x + 8)^2\cdot e^{3-x}\cdot(3-x)' = 2(x+8)\cdot e^{3-x} - (x + 8)^2\cdot e^{3-x} = \\= e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(2-x-8)=-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6);\)

2) \(-e^{3-x}\cdot(x+8)\cdot(x+6) = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;(x+8)(x+6)= 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_1 = -8,\;x_2 = -6; \)

3)

4) \(x_{max} = -6.\)

1) \(y'=\left(-\dfrac{x}{x^2+256}\right)'=-\dfrac{x'\cdot(x^2+256)-x\cdot(x^2+256)'}{(x^2+256)^2} =\\ = -\dfrac{1\cdot(x^2+256)-x\cdot(2x+0)}{(x^2+256)^2} = -\dfrac{x^2+256-2x^2}{(x^2+256)^2}=\dfrac{x^2-256}{(x^2+256)^2}; \)

2) \(\dfrac{x^2-256)}{(x^2+256)^2} = 0 \;\;\Leftrightarrow \;\;x^2-256 = 0 \;\; \Rightarrow\;\; x_{1,2} = \pm16; \)

3)

4) \(x_{min} = 16.\)

1) \(y' = 3x^2+54x\)

2) \(3x^2+54x = 0; \;\; 3x(x + 18) = 0; x_1 = 0; x_2 = -18\)

3) Определяем знак производной на одном из участков, например, при \(x = 1\) \[y' = 3x^2+54x; \\ y'(1) = 3\cdot1^2+54\cdot1 = 57 >0.\] Поскольку функция задана многочленом, на других участках знаки будут чередоваться.

4) По рисунку делаем вывод: точкой максимума функции является \(x = -18\).