ЕГЭ математика. Демоверсия 2024. (Проект)

На сайте ФИПИ опубликован Демонстрационный вариант ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ для участников, не планирующих поступать в вузы в 2024 году, так называемый вариант базового уровня.

На сегодняшний день (август 2023) документ опубликован как проект.

Чтобы ознакомиться с отдельными заданиями Демонстрационного варианта ЕГЭ 2024 по математике базового уровня в интерактивной форме пользуйтесь следующей таблицей ссылок.

Чтобы лучше подготовиться к сдаче экзамена сначала решите задание самостоятельно, проверьте ответ, затем посмотрите возможное решение.

Внимание: внешние ссылки, например, на банк заданий ФИПИ могут сбоить, если в течение года эти сайты будут корректироваться.

Демонстрационный вариант с решениями.
Математика. 11 класс.

№	Задание	Комментарии и ссылки для подготовки
1a	Баночка йогурта стоит 14 рублей 60 копеек. Какое наибольшее количество баночек йогурта можно купить на 100 рублей?	Потренировать решение задач на наибольшее/наименьшее с целыми (по смыслу) ответами можно на этой странице сайта.
1б	Килограмм моркови стоит 40 рублей. Олег купил 1 кг 600 г моркови. Сколько рублей сдачи он должен получить со 100 рублей?	Простейшие задачи на действия с рациональными числами можно посмотреть здесь.
1в	Для ремонта требуется 63 рулона обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 6 рулонов?	Это тоже задача на смысл наибольшего и наименьшего целых значений. Однако текстовые задачи могут выглядеть очень разнообразно. Более того, как при решении текстовых задач, так и при выполнении других заданий вам может потребоваться произвести округление ответа не по смыслу задачи (до ближайшего меньшего или ближайшего большего значений), а по указанию условия задачи, т.е. по правилам округления десятичных чисел. Поэтому рекомендую не пропустить сравнение двух задач здесь.
2a	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) рост ребёнка Б) толщина листа бумаги В) протяжённость автобусного маршрута Г) высота жилого дома ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1) 32 км 2) 30 м 3) 0,2 мм 4) 110 см В ответе под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. АБВГ	Фактически, задача на разумность. И, конечно, на знание единиц измерения. На мой взгляд, лучше всего повторить их по учебнику физики.
2б	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца. ВЕЛИЧИНЫ А) масса взрослого человека Б) масса грузового автомобиля В) масса книги Г) масса пуговицы ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1) 8 т 2) 5 г 3) 65 кг 4) 300 г В ответе под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения. АБВГ
3а	На диаграмме приведены данные о длине восьми крупнейших рек России (в тысячах километров). Первое место по длине занимает река Лена. На каком месте по длине находится река Амур?	Задача на анализ данных, представленных в различных формах. Требуется понимать графические формы представления данных - диаграммы: столбчатые, линейчатые, круговые ... Суть не в названиях, а в умении получать из диаграммы нужную информацию. И в умении быть очень внимательными! Задачи на графики и диаграммы можно посмотреть, например, здесь.
3б	В таблице представлены данные о стоимости некоторой модели смартфона в различных магазинах. Магазин Стоимость смартфона (руб.) «ОК-Техника» 6733 «Скоростной» 7600 «Магия связи» 6559 «Про-фон» 7346 «Смартфон и Ко» 6599 «Прогресс-Э» 7548 «999 телефонов» 6959 «Макропоиск» 7049  «Вселенная телефонов»  6850 Найдите наименьшую стоимость смартфона среди представленных предложений. Ответ дайте в рублях.	Это пример одного из самых простых вопросов, который можно задать по табличной форме представления данных - вопрос на поиск нужной информации. С таблицами будут и другие, более сложные, задачи, так что отнеситесь к ним повнимательнее.
3в	На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. На горизонтальной оси отмечены число, месяц, время суток в часах; на вертикальной оси — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 19 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.	Тоже задача на анализ данных, представленных в различных формах. Здесь в виде графиков, которые могут быть непрерывными и кусочно-непрерывными или даже точечными, гладкими или в виде ломаной ... Суть не в названиях. Потренируйтесь на задачах прошлых лет в банке заданий базового уровня в позиции 3. И не забудьте, что в предыдущие годы большинство ошибок в этих заданиях было из-за невнимательности.
4a	Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I 2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите P (в ваттах), если R = 5 Ом и I = 7 А.	Нужно аккуратно подставить заданные числа в формулу, привести подобные члены, если они есть, затем решить простое уравнение, в котором в качестве неизвестной величины будет искомая переменная. Посмотреть еще примеры таких задач можно здесь, в позиции 4.
4б	Среднее геометрическое трёх чисел: a , b и c – вычисляется по формуле g = 3√abc___. Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 25, 27.
5а	В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.	Задачи на классическое определение вероятности появились в ЕГЭ по математике в 2012 году. С тех пор в банке заданий их становится всё больше и они становятся всё разнообразнее. В этом разделе сайта "математичка" представлено много задач на эту тему с решениями. Решения изначально скрыты, чтобы вы могли проверить свои версии ответов.
5б	Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка, окажется исправной?
6а	Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице. Номер переводчика Языки Стоимость услуг (руб. в день) 1 Немецкий, испанский 7000 2 Английский, немецкий 6000 3 Английский 3000 4 Английский, французский 6000 5 Французский 2000 6 Испанский 4000 Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день. В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков (без пробелов, запятых и других дополнительных символов).	Эти задачи на анализ данных сложнее предыдущих, потому что требуют дополнительных вычислений. При этом часто возникает необходимость расширить таблицу, чтобы внести туда данные, вычисленные вами самостоятельно в процессе решения задачи. Посмотрите примеры таких случаев из заданий прошлых лет.
6б	В таблице приведены данные о шести чемоданах. Номер чемодана Длина (см) Высота (см) Ширина (см) Масса (кг) 1 65 40 25 19 2 84 72 49 24 3 92 80 36 23 4 75 60 45 25 5 83 65 48 22,5 6 95 75 42 30 По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть больше 23 кг. Какие чемоданы можно сдать в багаж по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера всех выбранных чемоданов (без пробелов, запятых и других дополнительных символов).
6в	Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Поставщик Стоимость пеноблоков (руб. за 1м3) Стоимость доставки (руб.) Дополнительные условия А 2600 10 000 Нет Б 2800 8000 При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная В 2700 8000 При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
7а	На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D. В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней. ТОЧКИ ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ   A 1) − 4   B 2)  3   C 3)  2_3   D 4) −0,5 В ответе под каждой буквой укажите соответствующий номер. ABCD	Наклон касательной к графику функции определяется её производной. Задачи на определение характеристик производной по графику функции. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной. Задачи на геометрический смысл производной. Задачи на физический смысл производной.
7б	На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале. ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ А) 0 – 1 мин. Б) 1 – 3 мин. В) 3 – 6 мин. Г) 8 – 10 мин. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕССА 1) Рост температуры был самый медленный. 2) Температура падала. 3) Температура находилась в пределах от 40 °C до 80 °C. 4) Температура не превышала 30 °C. В ответе под каждой буквой укажите соответствующий номер. АБВГ	Повторите свойства функций - область значений, область определения, возрастание, убывание, экстремальные значения. Не забудьте, что характеристикой монотонности функции в точке является её производная (мгновенная скорость), а характеристикой монотонности функции на участке является средняя скорость изменения её значений. Не путайте понятия "точка максимума (минимума)" функции и "максимум (минимум)" функции, т.е. её максимальное (минимальное) значение. Если требуется числовой ответ, то в первом случае называем значение абсциссы xmax или xmin, а во втором – значение ординаты ymax или ymin.
7в	Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [−1; 1]. ГРАФИКИ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1) Функция имеет точку максимума на отрезке [−1; 1]. 2) Функция имеет точку минимума на отрезке [−1; 1]. 3) Функция возрастает на отрезке [−1; 1]. 4) Функция убывает на отрезке [−1; 1]. В ответе под каждой буквой укажите соответствующий номер. АБВГ
8а	В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка. 2) Найдётся хотя бы двое учеников из этого класса, посещающих оба кружка. 3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике. 4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.	Логические задачи легче решать, помогая своим рассуждениям рисунком или таблицей. Пример можно посмотреть здесь.
8б	Во дворе школы растут всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины на 1 метр, но ниже осины на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты. 2) Ясень, растущий во дворе школы, выше осины, растущей там же. 3) Любое дерево, помимо указанных, которое ниже ясеня, растущего во дворе школы, также ниже рябины, растущей там же. 4) Любое дерево, помимо указанных, которое ниже рябины, растущей во дворе школы, также ниже ясеня, растущего там же. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
9а	На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.	Подробнее задачи на площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге, рассматриваются здесь.
9б	План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.	Подробнее задачи на площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге, рассматриваются здесь.
10a	Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.	Это наиболее простые задачи на свойства геометрических фигур. В частности, нужно вспомнить понятия периметр и площадь плоской фигуры.
10б	Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00?	Подобные задания на свойства круга и окружности вам могли встречаться на ОГЭ в 9-ом классе. Для их успешного решения нужно повторить свойства, определения и формулы, связанные с окружностью. Окружность. Основные понятия. Углы и отрезки в окружности. Кроме того, замечу, что вообще все разделы школьной планиметрии также были пройдены уже в 9-ом классе. Поэтому при подготовке к решению этих заданий имеет смысл вспомнить свой предыдущий опыт. (См., например, Демонстрационный вариант ОГЭ).
11а	Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в четыре раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.	Задача по стереометрии. Для решения нужно различать типы пространственных фигур, которые изучали в школе, и знать основные формулы - площадь поверхности, объем ... Задачи для тренировки с открывающимися решениями - здесь.
11б	От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
12	Известно, что в треугольнике ABC AB = BC =13, AC =10. Найдите длину медианы BM .	Задача по планиметрии. Нужно повторить названия и свойства фигур на плоскости. Основные теоремы. Для тренировки пройдите тесты по планиметрии. Они позволят выявить то, что вы не знаете на данный момент.
13а	Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.	Также задача по стереометрии. Для решения нужно различать типы пространственных фигур, их элементы, знать основные формулы - площадь поверхности, объем ... Здесь вы можете посмотреть видео анимации понятий призма и пирамида.
13б	Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17__.
13в	Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?	Для решения таких задач можно пользоваться формулами стереометрии, часть из которых есть в справочных материалах. Но если вы уверены в подобии фигур, то легче использовать следующие положения: отношения всех линейных размеров равны коэффициенту подобия; отношение плошадей равно коэффициенту подобия в квадрате; отношение объёмов равно коэффициенту подобия в кубе. Сравните приведенные способы решения этой задачи.
14a	Найдите значение выражения    (6,7 − 3,2)·2,4.	При работе с обыкновенными дробями помните простые правила: 1) Дроби приводят к общему знаменателю при сложении и вычитании. 2) Для умножения 2-ух правильных обыкновенных дробей достаточно числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель. 3) Разделить на дробь - то же самое, что умножить на перевернутую. Если вычисления содержат десятичные дроби, внимательно следите за положением запятой. Вспомните, что аналогичные задания были у вас на ОГЭ по математике в 9-ом классе (в этом году под номером 6). Прочтите комментарии к ним.
14б	Найдите значение выражения    ( 8__33 + 13__22): 5__18.
15a	Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13%. Сколько рублей Иван Кузьмич получит после уплаты этого налога?	Как решать задачи на проценты можно посмотреть, например, здесь.
15б	ЕГЭ по физике сдавали 25 выпускников школы, что составляет треть от общего числа выпускников. Сколько выпускников этой школы не сдавали экзамена по физике?	Такие задачи можно решать по правилам нахождения части от числа (умножением на дробь) или числа по его части (делением на дробь). Если вы испытываете затруднения с этими правилами, то такие задачи можно решать пропорцией.
15в	Площадь земель фермерского хозяйства, отведённых под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 гектара и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5:3 соответственно. Сколько гектаров занимают овощные культуры?	Можно ввести неизвестную переменную (х) и составить пропорцию, но для практики лучше приобрести навык "справедливого" деления на неравные части. Изучите внимательно представленный здесь способ решения этой задачи.
16а	Найдите значение выражения     149____27·78	Вспомните, что аналогичные задания были у вас на ОГЭ по математике в 9-ом классе (в этом году под номером 8). Прочтите комментарии к ним.
16б	Найдите cosα, если sinα = 0,8 и 90о < α < 180о.	Повторите простейшие формулы тригонометрии: sin2α + cos2α = 1; tgα·ctgα = 1 и т.п. А чтобы не запутаться со знаками функций потренируйтесь определять их значения тригонометрическому кругу.
16в	Найдите значение выражения (2√13__ − 1)·(2√13__ + 1).	Задача на знание и применение формул сокращенного умножения. Чтобы повторить эти формулы прямо сейчас, увеличьте рисунок щелкнув по нему мышью. Уменьшить рисунок можно повторным щелчком на нём.
16г	Найдите значение выражения log31,8 + log35.	Задача на знание и применение свойств корней, степеней и логарифмов. Повторите соответствующие формулы, щелкнув мышью по иконке.      Уменьшить рисунок можно повторным щелчком на нём.
17a	Найдите корень уравнения 3x − 3 = 81.	Для подготовки к экзамену следует прорешать простейшие типовые уравнения школьного курса математики. На этой странице сайта есть таблица с такими уравнениями, которые стоит сначала попробовать решить, а затем щелкнуть мышью по условию, чтобы посмотреть правильное решение.
17б	Найдите корень уравнения log2(x − 3) = 6.
17в	Решите уравнение x2 − x − 6 = 0 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
18а	На координатной прямой отмечены точки A, B, C и D. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами. ТОЧКИ ЧИСЛА   A 1) log210   B 2) 7_3   C 3) √26__   D 4) В ответе под каждой буквой укажите соответствующий номер. ABCD	С постановкой этой задачи вы хорошо знакомы по итоговой аттестации по математике за 9-й класс. См. задание №7. Различие состоит в том, что теперь нужно уметь делать оценки числовых значений не только дробей и корней, но и трансцендетных функций, таких как показательная функция, тригонометрические функции, логарифмическая функция. Повторите их опорные значения и свойства возрастания/убывания.
18б	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА А) 2x ≥ 4 Б) 0,5x ≥ 4 В) 0,5x ≤ 4 Г) 2x ≤ 4 РЕШЕНИЯ В ответе под каждой буквой укажите соответствующий номер. АБВГ	Тема этого задания - решение простейших неравенств. Здесь приведено для примера показательное неравенство. В демонстрационных вариантах прошлых лет в качестве примеров были представлены иные типовые неравенства, в частности, рациональные неравенства. Имейте в виду, неравенства надо повторить все. Начать повторение можно с общих соображений.
19a	Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-либо одно такое число.	Нужно повторить числовые множества. Подробнее - множество натуральных чисел. Признаки делимости. Понятие остатка. Разряды десятичной системы счисления. Короче, ту часть математики, которую вы изучали в 1-3 классах. Это можно сделать на примерах решения реальных заданий ЕГЭ прошлых лет. Рассмотрите внимательно эти примеры.
19б	На шести карточках написаны цифры 2, 3, 5, 6, 7, 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении    ⛑ + ⛑⛑ + ⛑⛑⛑ вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20. В ответе укажите какую-либо одну такую сумму.
19в	Вычеркните в числе 75157613 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
20a	Расстояние между городами А и В равно 470 км. Из города А в город В выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города А. Ответ дайте в км/ч.	Текстовые задачи на составление уравнений присутствовали на ОГЭ в 9-ом классе. Однако, если вы не решали 2-ю часть варианта тогда, то изучите возможные подходы к решению сейчас с помощью этой страницы сайта.
20б	В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
21a	Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в 3 раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенье они съели поровну?	Такие задачи стоит решать не только для подготовки к экзамену, но и для развития собственного творческого потенциала. Берите любые книги из серии "Занимательная математика" и развивайте мышление, логику, воображение.
21б	Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
21в	В доме всего 14 квартир с номерами от 1 до 14. В каждой квартире живёт не менее 1 и не более 4 человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в квартирах с 11-й по 14-ю включительно живёт суммарно 12 человек. Сколько всего человек живут в этом доме?

   Переход  на главную страницу сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания? Обращайтесь -   mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.