Математика ЕГЭ 2021.
Профильный уровень. Задачи с кратким ответом.

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Задача 11

Задача 12

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
- Анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах.
Проще говоря, уметь решать текстовые задачи, каковой и является задача 1 части 1.
Задачи этого типа разнообразны и подробно представлены на сайте "математичка".

При подготовке к экзамену нужно повторить следующие темы:

• Целые числа.
• Дроби, проценты, рациональные числа.
• Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики.
• Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Текстовые эадачи в демонстрационном варианте экзамена встречаются также в задании 11. Однако в первое задание вынесены наиболее простые из них - те, решать которые в обычной жизни приходится чуть ли не ежедневно.
Разберем несколько таких задач из банка заданий ФИПИ, последовательно рассматривая следующие их типы:

1. Задачи только на действия с рациональными числами.
2. Округление ответа.
3. Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.
4. Применение пропорций.
5. Задачи с округлением.
6. Задачи на проценты.
7. Прямые и обратные задачи.
8. Задачи смешанные.
9. Задачи на системы измерения величин.

Это задание посвящено умению использовать математические знания в реальной жизни. Описывать с помощью функций, таблиц и графиков различные зависимости между величинами и интерпретировать их; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках.

Задачи на табличное и графическое представление данных.

В прошлые годы на проверку таких умений было два задания. В одном из них акцент был на графических элементах (диаграммах, графиках), во втором — на таблицах. С 2016 года для профильного уровня обе темы совмещены в одном задании. При этом исключены те задачи, в которых для анализа табличных данных требуется относительно большой объём простых вычислений, а именно суммирования нескольких десятичных чисел в столбик. Сделано это для того, чтобы позволить экзаменующимся более рационально использовать своё время - меньше затратить на простые задачи и больше на задачи повышенного и высокого уровней сложности.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
- Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей).

Задача 3 посвящена проверке этих умений, т.е. это задача по планиметрии. Напомню, планиметрией называют часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. Планиметрия - часть курса геометрии в средней школе. Другая её часть, в которой рассматриваются пространственные фигуры, называется стереометрией. В части заданий с кратким ответом ей посвящено задание 8.

Для решения задачи 3, безусловно, нужно повторить

• определения и свойства геометрических фигур, которые вы изучали в школе, а также
• основные формулы из курса планиметрии.

Формулы площадей прямоугольника, треугольника, четырехугольников, необходимые для решения большой части задач 3-его задания, можно повторить прямо сейчас, перейдя на страницу этого сайта по ссылке "Учим формулы".

В демонстрационном варианте ЕГЭ профильного уровня есть еще одно задание на планиметрию (в 2021 году его номер 6). Безусловно, тематика этих заданий частично пересекается. Для подготовки к заданию 3 я предлагаю рассмотреть следующие типы задач:

1. Задачи на формулы площади.
2. Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
3. Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
4. Задачи на понятие координатной плоскости.
5. Задачи на вектора.
6. Правильные многоугольники.

Однако часть из них в реальном варианте Вам может встретиться уже под другим номером.

Решения большинства задач 3 временно скрыты. Они загружаются на страницу позже, после того, как вы нажмете соответствующие кнопки-ссылки. Однако будьте внимательны, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки. Если что-то не загружается, проверьте, разрешены ли в Вашем браузере Flash и JavaScript.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
В данном случае речь идет о моделировании случайных явлений. Конкретно об использовании элементов теории вероятностей при решении прикладных задач.

Для решения большинства задач 4-го задания достаточно повторить классическое определение вероятности события: вероятностью события А называется дробь P(A) = m/n, в числителе которой стоит число m элементарных событий, благоприятствующих событию А, а в знаменателе n - число всех элементарных событий.

Вспомним, что элементарными называются события, которые попарно несовместимы и равновозможны. В других учебниках они же называются исходами испытания.

Таким образом, с точки зрения математических операций эта задача решается в одно действие, она предельно проста.
И в то же время достаточно трудна, потому что требует очень внимательно разобрать "бытовую" ситуацию, заданную в условии, чтобы

• выявить элементарные события,
• выделить благоприятствующие,
• не пропустить ни одного из всех возможных исходов
• и не включить ни одного лишнего.

Научиться этому можно только в процессе решения задач, постепенно переходя от совсем простых к более сложным.
Попробуйте решить несколько задач в таком порядке:

1. Задачи только на определение вероятности
2. Задачи с использованием элементов комбинаторики
3. Решение задач с применением таблиц
4. Задачи на правила сложения и умножения вероятностей

И посмотрите, нет ли у вас аналогичных ошибок:

1. Типичные ошибки при решении задач на классическое определение вероятности.
2. Ошибки, которые могут возникать при решении задач на применение правил сложения и умножения вероятностей.

Если вы всё-таки испытываете трудности при подсчёте числа элементарных событий (возможных исходов, вариантов развития и т.п.), повторите раздел математики, называемый комбинаторикой. Для этого можно пройти по ссылкам

Формулы комбинаторики и простейшие задачи на подсчёт вариантов.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

Задание 5 посвящено решению простых уравнений. Т.е. уравнений с одной переменной, как правило, обозначенной символом х, для решения которых не требуется значительных алгебраических преобразований.

1. Решение уравнений.

Выпускник средней школы должен уметь моделировать реальные ситуации на языке геометрии, строить и исследовать модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (длин, углов, площадей). Контролю этих умений посвящено задание 6. Ещё одно задание по планиметрии.

Чтобы успешно справиться с этим заданием повторите определения и свойства следующих плоских фигур

1. Треугольник
2. Четырёхугольники, в частности, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
3. Многоугольники, в частности, правильные многоугольники.
4. Окружность и круг, в том числе, вписанные и описанные окружности многоугольника.
5. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора.

Быстро проверить свои знания по этим темам, Вы можете с помощью тестов.

В процессе подготовки к решению этого задания на экзамене можно воспользоваться следующими разделами сайта "Математичка.ру":
1. Формулы для площадей плоских фигур.
2. Окружность. Основные понятия.
3. Углы и отрезки в окружности.
4. Примеры решения задач с окружностью.
5. Правильные многоугольники.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен уметь выполнять действия с функциями:
- определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
- описывать по графику поведение и свойства функций;
- находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
- строить графики изученных функций.

Большую роль в исследовании функции играет её производная.

Задача 7 проверяет насколько выпускник знаком с понятием производной функции, геометрическим и физический смыслом производной.

1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
2. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
3. Задачи на геометрический смысл производной.
4. Задачи на физический смысл производной.

Решения большинства задач 7-го задания временно скрыты. Они загружаются на страницу позже, после того, как вы нажмете соответствующие кнопки-ссылки. Кроме того, многие из задач, а также некоторые решения содержат рисунки. Дождитесь окончания загрузки страницы.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

В задании 8 действительно рассматриваются только простейшие пространственные тела, если параллелепипед, то прямоугольный, если пирамида, то правильная. В этих случаях задача легко сводится к планиметрии.

Рассмотрим несколько задач из федерального банка заданий, сгруппировав их по типам тел.Одновременно повторим свойства этих тел.

1. Конус.
2. Цилиндр.
3. Прямоугольный параллелепипед
4. Правильная призма.
5. Правильная пирамида.
6. Многогранник.
7. Шар и сфера.
8. Вписанные и описанные тела вращения.

Решения большинства задач 8-го задания временно скрыты. Они загружаются на страницу позже, после того, как вы нажмете соответствующие кнопки-ссылки. Однако будьте внимательны, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки. Если что-то не загружается, проверьте, разрешены ли в Вашем браузере Flash и JavaScript.

В этом задании требуется уметь выполнять вычисления и преобразования. Набор задач на эту тему в банке заданий ЕГЭ очень широк и разнообразен: от сугубо арифметических операций до степеней с рациональными показателями и логарифмов. Очень существенным подспорьем при решении большинства этих задач будет знание формул сокращенного умножения. Не помешает также повторить формулы тригонометрии, свойства степеней и логарифмов, определение модуля (абсолютной величины) числа.

Это задание проверяет Ваше умение решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера. В целом, алгоритм её решения несложен - нужно аккуратно подставить заданные числа в формулу, привести подобные члены, если они есть, затем решить уравнение, в котором в качестве неизвестной величины выступает искомый параметр. Ошибки могут быть связаны, в первую очередь, с невнимательным чтением условия задачи, а также со "сложностью" решения уравнений и неравенств в непривычных для математики обозначениях переменных и неизвестной величины.

Для получения правильных ответов также необходимо потренировать преобразование выражений, включающих арифметические операции. К сожалению, в задачах этого типа арифметические ошибки встречаются не реже, чем логические.

Задание 11, как и задание 1 является текстовой задачей на применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Проще говоря, на применение математики в различных жизненных ситуациях, только чуть более сложных, чем в предыдущем случае. Поэтому к рассмотрению этого вида заданий следует приступать только после того, как разобраны все типы задания 1.

Сложность ситуаций заключается чаще всего в том, что конечные (наблюдаемые) результаты какого-либо процесса известны лучше, чем начальные условия. В таких случаях обычно используют обозначение неизвестных начальных величин символами и сводят задачу к решению алгебраических уравнений или систем уравнений.

Итак, образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен уметь:
- Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.

При подготовке к экзамену нужно повторить следующие темы:

• Равносильность уравнений, систем уравнений.
• Методы решения рациональных уравнений.
• Методы решения систем уравнений.
• Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Набор задач задания 11 на официальном сайте ФИПИ очень разнообразен. Есть задачи на движение, на течение реки, на проценты, на среднюю скорость, на растворы и сплавы, на производительность труда и "производительность трубы"... Но мне не хотелось бы классифицировать их таким образом. Это делалось в младших и средних классах, когда у вас было меньше жизненного опыта и совсем не было представлений о том, как формализовать ситуацию, описанную в условии задачи. Теперь вы стали старше, некоторые навыки у вас уже отложились глубоко в подсознании, поэтому не надо пытаться вспомнить дословно и добуквенно, например, методы решения задач на движение, надо стремиться составить решаемое уравнение или систему, опираясь на всё то, что вы знаете о движении из физики, математики, своего опыта...

Классифицировать по методам решения тоже бесполезно. Такие задачи решаются самыми разнообразными способами. Всё, что можно решить системой, можно решить и одним уравнением. Всё, что можно решить уравнением, можно решить и без него. Всё, что можно решить коротко, можно решить длинно, и наоборот.

Итак, просто группирую задачи по "похожести" либо условий, либо решений.

1. Задачи с участием водного транспорта.
2. Задачи на проценты с уравнениями и без них.
3. Задачи на системы линейных уравнений.
4. Задачи на объезд, обгон и встречное движение.
5. Задачи на среднюю скорость.
6. Задачи на производительность.

Внимание: ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне - сначала ответ, потом решение. В некоторых случаях набор формул выполнен в формате рисунка. Дождитесь полной загрузки таких решений.

Если вы уже решали задачу 7, то убедились, что производная характеризует вид (возрастание или убывание) и скорость изменения функции.
Поэтому производная широко используется для определения таких характеристик функции, как её экстремумы.
Вспомним, что термин "экстремум" объединяет понятия максимум и минимум функции. (Прислушайтесь к словам диктора, когда он читает прогноз погоды. Если речь идет об экстремальных температурах зимой, мы понимаем, что будет сильный мороз. Но если это происходит летом, то ждем очень жарких дней.)

Теме нахождения экстремумов и посвящена задача 12 ЕГЭ 2021 по математике профильного уровня. Технически все варианты этой задачи решаются одинаково:
- нужно найти производную функции,
- затем критические точки производной, т.е. те значения аргумента, при которых производная равна 0 или не существует,
- и, наконец, определить знаки производной в окрестности критических точек, чтобы убедиться в том, что экстремумы существуют и определить их вид.

Как реализуется этот алгоритм, можно посмотреть, например, здесь.

Не забудьте повторить основные формулы для производных и первообразных элементарных функций, а также ознакомиться с характерными ошибками, которые бывают при вычислении производной и способами борьбы с ними.

Однако на экзамене будьте очень внимательны к формулировке вопроса задания. Есть существенные различия в понятиях - точка экстремума, значение экстремума и наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке.

Перейти к решению задач:

1. Задачи на нахождение точек экстремума функции.
   
2. Задачи на нахождение экстремумов функции.
   
3. Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.
   

Ознакомьтесь с Демонстрационным вариантом ЕГЭ 2021 по математике, который здесь представлен позадачно.

Задания профильного уровня, как и ранее, разделены на две части. Первая по сложности примерно такая же, как в базовом варианте, вторая содержит задачи повышенного и высокого уровней сложности.
Всего демонстрационный вариант 2021 года содержит 19 заданий: задания 1-8 базового уровня сложности с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби, задания 9-12 повышенного уровня сложности с кратким ответом такого же вида, задания 13-19 повышенного и высокого уровней сложности с развёрнутым ответом.

В демонстрационном варианте представлено по несколько примеров заданий на некоторые позиции экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено только одно задание.

Здесь вы можете потренировать решение заданий профильного уровня с кратким ответом.

Чтобы ознакомиться с содержанием экзамена базового уровня, перейдите на страницу с интерактивной Демоверсией базового уровня.
Чтобы потренировать решение заданий профильного уровня с развёрнутым ответом, перейдите к разделу Профильный уровень. Задачи с развёрнутым ответом.

Выбрав номер задания на вкладке слева, ознакомьтесь с примерами этого задания из Демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2021 года. Прочтите какого типа это задание, каким темам оно посвящено и что нужно повторить. Не забывайте, что задания демонстрационного варианта не отражают всех возможных вопросов содержания экзаменационного варианта. Чтобы ознакомиться с примерами аналогичных задач, которые давались на экзаменах прошлых лет и могут быть включены в экзаменационные материалы в 2021 году, найдите нужный раздел в оглавлении тематики задач и перейдите по ссылке.

Во всех разделах задачи снабжены ответами и решениями. Однако у большинства задач решение временно скрыто и загружается отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на жёлтом фоне. Не нужно спешить смотреть готовое решение! Для более эффективной подготовки сначала постарайтесь решить задачу самостоятельно, и только потом можно нажать зеленую кнопку, чтобы сравнить ответ, и жёлтую, чтобы раскрыть моё решение. Если ваше решение не совпадает с моим, оно не обязательно является неправильным. Ход рассуждений может быть различным, главное, чтобы он приводил к верному ответу. Не забывайте - в первых 12 заданиях ЕГЭ 2021 проверяются только ответы.

Сдадим ЕГЭ по математике? Легко!