С вопросами, комментариями, мнением об экзаменах обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
И, пожалуйста, напишите об ошибке, если обнаружите таковую в моих решениях.
Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.
Предполаганмый вариант базового ЕГЭ по мпиематике в следующем году мало отличается от вариантов прошлых лет. Основные отличия:
- Изменён порядок следования нескольких заданий. При этом содержание задания осталось прежним.
- Добавлена текстовая задача на составление уравнения или систем уравнений.
- Задача "на клеточках" изменена так, что теперь требуется не вычислить некоторое значение, а произвести его оценку.
Задания, которых не было в прошлом году
Задание 5.
Задача.
На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.
Решение.
Поскольку шаг сетки равен 1 км, а ответ требуется дать как раз в квадратных километрах, то достаточно определить площадь озера в клеточках.Правильным решением является следующее - ограничить исследуемый объект, в данном случае озеро, отрезками прямых линий (в других заданиях, может быть, дугами окружностей) так, чтобы приблизить его форму к простой геометрической фигуре, площадь которой легко определяется по клеткам.
В данном случае вертикальная линия в левой клетке проведена в середине квадрата, наклонные линии по диагоналям квадратов. Получаем примерно 0,5 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 3.
Выступающий за построенную границу участок озера и включенные внутрь береговые участки оцениваем "на глаз". Очевидно, что они приблизительно компенсируют друг друга и в совокупности создают погрешность не более полуклетки. Таким образом, округленный до целого числа ответ и есть 3.
Ответ: 3
Однако мне очень не нравится присутствие такого задания в варианте письменного экзамена, проверяемого с использованием специальных аппаратно- программных средств формально только по ответам, каковым является ЕГЭ по математике базового уровня.
Сколько раз я говорила ребятам, что этот экзамен не проверяет ваши физические возможности - остроту зрения, цветовосприятие, глазомер. Оказвается проверяет?
Сколько уговаривала ориентироваться на узлы сетки, решая задачи "на клеточках", а если какой-то элемент чертежа не попадает в узел, то использовать для вычислений геометрические формулы. Ведь задания ЕГЭ требуют однозначного ответа. Но и тогда зачастую ребята получали неточные ответы, используя методику определения длины или площади на глаз.
Полагаю, что добрая половина выпускников на реальном экзамене в этом задании смогла бы получить ответ 4. Для этого достаточно мысленно подвигать клетки с озером, получить воображаемую структуру, например, такую как на этом рисунке. Оценить площадь "нового озера" в 3,5 клетки и по правилам округления чисел в ответ записать 4.
Вывод: по моему мнению, это задача не для ЕГЭ. Она была бы очень хороша для устного экзамена, для собеседования, для практических занятий, для письменного экзамена с возможностью обоснования ответа.
Задание 20.
Следующие задания, в самом деле, нельзя назвать новыми, поскольку нынешним выпускникам они или им подобные текстовые задачи встречались на ОГЭ в 9-ом классе. Это было задание 21 во второй части варианта.
Задача.
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.
Решение.
Для решения задач на движение важны три параметра – расстояние, время в пути и скорость движения, которые обычно обозначаются символами \(S,t\) и \(v\) соответственно. Особенность задач на движение по реке состоит в том, что движение по течению и против течения надо рассматривать отдельно.
Итак, пусть собственная скорость лодки равна \(x\) км/ч, тогда- по течению: \(S = 30\;(км),\;v = x+1\;(км/ч),\;t = S/v = 30/(x+1) (час)\);
- против течения: \(S = 30\;(км),\;v = x-1\;(км/ч),\;t = S/v = 30/(x-1) (час)\).
Ответ: 11
Замечение: Об оптимизации решения квадратных уравнений см. в статье "4,5 способа решения одного квадратного уравнения".
Задача.
В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Решение.
Пусть акции компании стоили А рублей и в понедельник подорожали на k%, тогда они стали стоить (100 + k)% от А, что составляет \[\frac{А\cdot(100+k)}{100} = А\cdot\left(1+\frac{k}{100}\right) (рублей).\] Полученная формула означает, что стоимость авций увеличилась в (1+k/100) раз.
Рассуждая аналогично, мы выясним, что во вторник стоимость акций по отношению к понедельнику изменилась в (1−k/100) раз, а по отношению к первоначальной стоимости в (1−4/100) раз.
Можно составить уравнение \[A\left(1+\frac{k}{100}\right)\left(1-\frac{k}{100}\right) = A\cdot\left(1-\frac{4}{100}\right);\\ 1-\left(\frac{k}{100}\right)^2 = 1-\left(\frac{2}{10}\right)^2\\ \frac{k}{100} = \frac{2}{10}; \; k = 20.\]Ответ: 20.
Для решения подобных задач наиболее удобен способ вычисления процентов, описанный здесь.