С вопросами, комментариями, мнением об экзаменах обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

И, пожалуйста, напишите об ошибке, если обнаружите таковую в моих решениях.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Внимание: в обсуждаемом варианте еще могут быть изменения.

Предлагаемый вариант профильного ЕГЭ по математике в следующем году заметно отличается от вариантов прошлых лет, как в части заданий с кратким ответом, так и в части заданий с развёрнутым ответом.

Основные отличия варианта 2022 от ЕГЭ 2021:

  1. Из варианта удалены первые три задания по темам: простейшие текстовые задачи, задания на анализ статистических графиков и диаграмм, задачи по геометрии на клетчатой бумаге.
  2. В первую часть добавлены задания на график функции, на решение обратных задач теории вероятностей, на комплексные числа. Последние два задания вызывают вопросы у педагогов и еще подлежат общественно-профессиональному обсуждению.
  3. Соответственно изменён порядок следования оставшихся заданий первой части. К некоторым заданиям добавлены иные образцы формулировок задачи, у некоторых число образцов уменьшено. При этом сохранилось правило – задания 1–7 имеют базовый уровень сложности.
  4. Во второй части изменения менее явные.

  5. Задание на решение уравнений (13) представлено без второго пункта - выбор корней, принадлежащих заданному отрезку.
  6. Задание на решение неравенств (15) стало многоплановым. Оно состоит из трёх пунктов и включает независимое решение неравенства и уравнения, а затем решение системы, состоящей из тех же выражений.
  7. Прежние задания 16 (планиметрия) и 17 (экономическая задача) поменялись номерами, что больше соответствует структуре варианта – задания 8–16 имеют повышенный уровень сложности; задания 17, 18 и 19 относятся к высокому уровню сложности.
  8. На мой взгляд, экономическая задача, действительно, существенно проще, чем предлагаемые в этом разделе задачи по планиметрии.

Интерактивные страницы с Демо-версиями для экзамена 2022 будут обновляться осенью, когда окончательно утвердят контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике. Здесь рассматриваются только предлагаемые новые задания и их решения.

Задания, которых не было в прошлом году

Задание 3.

задание ЕГЭ на коэффициенты параболы

Задача.
На рисунке изображён график функции вида \(f(x)= ax^2 + bx + c,\) где числа \(a, b\; и \;c\) — целые. Найдите значение \(f(-12)\).

решение задания ЕГЭ ЕГЭ на коэффициенты параболы

Решение.

Формула функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Требуется определить значение функции в точке, которая не видна на графике, поэтому нужно воспользоваться формулой. Для этого сначала нужно определить неизвестные коэффициенты квадратного трёхчлена.

Три неизвестных коэффициента можно найти путём решения системы трёх линейных уравнений. Чтобы составить такую систему уравнений, берём на графике три "удобные" точки и подставляем их координаты в формулу функции.
Точки "удобны", если их координаты хорошо считываются, например, находятся в узлах сетки, или мы о них что-то знаем из теории. Для параболы очень хорошими точками являются вершина и точка пересечения с осью ординат. К сожалению, последняя на заданном участке графика также не видна.
На рисунке показаны выбранные мною точки, которые задают следующие соотношения \[x_в=-4\;\Rightarrow\;-\frac{b}{2a} = -4;\\ f(-3)=-2\; \Rightarrow\;a(-3)^2 + b(-3) + c = -2;\\ f(-2)=1\;\Rightarrow\;a(-2)^2 + b(-2) + c = 1.\] Получили ситему уравнений \[ \begin{cases} -\dfrac{b}{2a} = -4,\\ 9a -3b + c = -2,\\ 4a -2b + c = 1. \end{cases}\] Решаем её \[\begin{cases} b = 8a,\\9a -24a + c = -2,\\4a -16a + c = 1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8a,\\c = 15a-2,\\c = 12a+1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8a,\\0 = 3a-3,\\c = 12a+1; \end{cases}\; \begin{cases} b = 8,\\a = 1,\\c = 13.\\ \end{cases}\] Таким образом, уравнение функции имеет вид \(f(x)= x^2 + 8x + 13\), чтобы найти её значение в заданной точке, подставляем −12 в формулу \[f(-12)= (-12)^2 + 8\cdot(-12) +13 = 144-96+13 = 61.\]

Ответ: 61

Задание 7с.

Дополнительный образец формулировки задания на геометрический смысл производной.

задание ЕГЭ на геометрический смысл произволной

Задача.
На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) — производной функции \(f(x)\), определённой на интервале (−9;12). В какой точке отрезка [−8;11] функция \(f(x)\) принимает наибольшее значение?

Решение.

Задачу лучше решать, делая отметки на чертеже.

решение задания ЕГЭ на оценку по клеточкам

Выделим на чертеже отрезок, на котором требуется найти искомое значение. Наибольшее значение непрерывной функции может быть достигнуто в одной из крайних точек отрезка, либо в одной из точек максимума функции внутри отрезка.

Крайние точки отрезка x = −8 и x = 11.
Внутренние точки отрезка, в которых функция имеет экстремальные значения, совпадают с точками, в которых её производная равна нулю. Эти точки также отмечаем на чертеже (здесь красными кружками).

Чтобы определиться, в каких точках экстремум является максимумом, нам нужно определить знак производной в окрестности каждой из этих точек. Знаки производной хорошо видны по её графику. Делаем соответствующие отметки на интервалах. Интервалу, где производная положительна соответствует интервал возрастания функции, интервалу, где производная отрицательна соответствует интервал убывания функции. Отмечаем свои наблюдения стрелочками. Обратите внимание, стрелочки относятся не к тому графику, который мы видим на чертеже, не к графику производной, а к графику исходной функции. Максимум функции может быть только в тех точках, левее которых функция возрастала, а правее стала убывать. Таким образом, кандидаты на ответ – точки максимума внутри отрезка: x = −7, x = 0, x = 7, x = 10.

Вернёмся к крайним точкам. Точка x = −8 находится на участке возрастания функции, поэтому во внутренних точках отрезка, расположенных правее её, значения функции будут больше. Точка x = 11 находится на участке убывания функции, и соответственно во внутренних точках отрезка, расположенных левее её, значения функции будут больше. Т.е. в крайних точках отрезка, наибольшего значения функция не достигает.

Итак, наибольшее значение функции может быть в одной из четырёх точек, но для однозначного ответа (ведь у нас I-я часть ЕГЭ) требуется выбрать одну из них. Для этого нужно вспомнить, что функция связана со своей производной через первообразную (неопределённый интеграл) \(f(x) = \int{f'(x)}dx + C\), а она, в свою очередь, связана с площадью под кривой через определённый интеграл. Например, площадь под кривой на отрезке [2;7], отмеченную на рисунке светлозелёным цветом, можно вычислить по формуле \(S = \int\limits_2^7{f'(x)}dx = f(7) - f(2).\)
Оценивая по клеточкам площади криволинейных трапеций между кривой и осью абсцисс на интервалах между точками экстремумов, мы можем прикинуть сколько единиц "теряет" функция на этом интервале, если участок отмечен знаком минус, и сколько "приобретает" там, где участок отмечен знаком "+".
Предположим, что наибольшее значение функции f(−7). Далее прибавляем и вычитаем примерные значения площадей, двигаясь к следующим точкам предполагаемого ответа слева направо. Как видно из рисунка, покрашенный участок имеет наибольшую площадь и соответственно добавит к значению функции больше, чем остальные, тем более, что часть из них с плюсом, другая с минусом, и они друг друга компенсируют. Таким образом, наибольшее значение функции будет достигнуто в точке x = 7.

Ответ: 7

Всё понятно? Остались ли у вас вопросы по этому заданию? А у меня остался вопрос к разработчикам из ФИПИ: ПОЧЕМУ ЭТА ЗАДАЧА ОТНОСИТСЯ К БАЗОВОМУ УРОВНЮ СЛОЖНОСТИ?
Если я ошибаюсь, и есть решение проще представленного, напишите мне об этом на почту. (Жми конвертик!)

Задание 10.

Следующие задания, в которых требуется определить вероятность некого события при условии, что другое связанное с ним событие уже произошло, и мы об этом знаем, в теории вероятностей решаются с использованием теоремы Байеса (или формулы Байеса). Не уверена, что все школьники знают, а тем более понимают эту теорему, поэтому привожу альтернативные способы решения этих задач. Такие более "школьные" способы существуют для случаев, когда взаимосвязанных событий, упоминаемых в условии задачи немного.

Задача.
Симметричную игральную кость бросили три раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало три очка»?

Решение.

Постараемся решить, используя лишь классическое определение вероятности \(P =\dfrac{m}{n},\) где \(n -\) общее число исходов, \(m -\) число исходов, благоприятствующих запрашиваемому событию.
Для этого рассмотрим, из каких трёх слагаемых может состоять число 6.

1) 6 = 1+2+3;
2) 6 = 2+2+2;
3) 6 = 4+1+1.

При трёхкратном бросании игральной кости вариант 1 может реализоваться 6-ю способами, т.к. очки могут выпадать в любом порядке: перестановки из 3-ёх элементов 3! = 6.
Вариант 2 может реализоваться только одним способом.
Вариант 3 реализуется 3-мя способами: 4 очка могут выпасть при первом, или при втором, или при третьем бросании.
Итого \(n = 6+1+3 = 10.\)

В первом варианте тройка присутствует по одному разу в каждом из 6-ти способов. Во втором и третьем вариантах тройки вообще нет.
Итого \(m = 6.\) \[P =\frac{m}{n} = \frac{6}{10} = 0,6.\]

Ответ: 0,6

Задача.
В городе 48% взрослого населения мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причем доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для проведения исследования социологи случайным образом выбрали взрослого мужчину, проживающего в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Решение.

Эту задачу постараемся решить, используя лишь И/ИЛИ-правила (правила умножения/сложения вероятностей).

От долей населения в процентах перейдём к соответствующим вероятностям в десятичных дробях. (Это можно сделать, опираясь на такое доказательство: если в городе живёт N взрослых человек и 48% из них мужчины, то мужчин в городе живёт \(\dfrac{N\cdot48}{100},\) тогда вероятность встретить взрослого мужчину составляет \(\dfrac{N\cdot48}{100\cdot N} = \dfrac{48}{100} = 0,48\).)

Неизвестную вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером» обозначим x. А находить будем вероятность другого, более общего события «выбранный взрослый житель города является пенсионером». Это событие можно записать так:

"Житель города является пенсионером, если он мужчина И при этом пенсионер ИЛИ она женщина И при этом пенсионер".

Учитывая независимость и несовместимость событий (один человек не может быть одновременно женщиной и мужчиной, быть и не быть персионером), к "И" применяем правило умножения вероятностей, к "ИЛИ" - правило сложения вероятностей. Получим формулу для вероятностей

P(П) = P(М)·P(МП) + P(Ж)·P(ЖП).

В этой формуле введены такие обозначения
  • Событие П - "Житель города является пенсионером". Вероятность этого события P(П) = 0,126 находим в условии задачи (пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения).

  • Событие М - "Этот житель города является мужчиной". Вероятность этого события P(М) = 0,48 находим в условии задачи.

  • Событие МП - "Выбранный мужчина является пенсионером". Вероятность этого события мы приняли за x.

  • Событие Ж - "Этот житель города является женщиной". Вероятность этого события P(Ж) = 1 − 0,48 = 0,52, так как оно противоположно событию "житель города мужчина".

  • Событие ЖП - "Выбранная женщина является пенсионеркой". Вероятность этого события P(ЖП) = 0,15 находим в условии задачи (доля пенсионеров среди женщин равна 15%).
Получаем уравнение 0,126 = 0,48·x + 0,52·0,15,
из которого находим 0,48x = 0,126 − 0,52·0,15 = 0,048;
x = 0,048/0,48 = 0,1.

Ответ: 0,1.

Задание 11.

Задание по теме "Комплексные числа" вызывает больше всего вопросов у школьников и учителей, так как эта тема слабо представлена в действующих учебниках. Тем не менее, рассмотрим решение задачи из перспективного демонстрационного варианта.

Задача.
Про комплексное число \(z\) известно, что \(|z - 4 - 7i| = | z + 4 - i|\). Найдите наименьшее значение \(|z|\).

Решение.

Пусть \(z = a+ib\), тогда \[|z| = \sqrt{a^2+b^2};\\ z-4 - 7i = (a-4) +(b-7)i; \;\; |z-4 - 7i| = \sqrt{(a-4)^2 +(b-7)^2}; \\ z+4 - i = (a+4) +(b-1)i; \;\; |z+4 - i| = \sqrt{(a+4)^2 +(b-1)^2}; \\ |z - 4 - 7i| = | z + 4 - i| \;\; \Leftrightarrow \;\; \sqrt{(a-4)^2 +(b-7)^2} = \sqrt{(a+4)^2 +(b-1)^2}.\] Из последнего равенства следует \((a-4)^2 +(b-7)^2 = (a+4)^2 +(b-1)^2.\) Преобразуем это уравнение, чтобы выразить одну из неизвестных переменных через другую \[(a-4)^2 - (a+4)^2 = (b-1)^2 - (b-7)^2 ;\\ (a-4 -a-4)(a-4 +a+4) = (b-1-b+7)(b-1+b-7);\\ -8\cdot2a = 6\cdot(2b-8); \\ a = -\frac{3(b-4)}{4}.\] Теперь можем записать \(|z|\) как функцию одной переменной \[|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\left( -\frac{3(b-4)}{4} \right)^2+b^2} = \sqrt{\frac{9(b-4)^2 + 16b^2}{16}.} \] Теперь видно, что наименьшее значение \(|z|\) будет достигнуто при таких значениях \(b\), при которых выражение \(9(b-4)^2 + 16b^2\) минимально. Ищем минимум этого выражения через производную. \[(9(b-4)^2 + 16b^2)' = 9\cdot2(b-4)+16\cdot2b = 18b - 72 + 32b = 0;\\ 50b = 72; \;\; b = 1,44;\\ |z| = \sqrt{\frac{9(b-4)^2 + 16b^2}{16} } = \sqrt{\frac{9(1,44-4)^2 + 16(1,44)^2}{16}} = 2,4.\]

Ответ: 2,4

Моё мнение по этому заданию – требует существенных затрат времени на вычисление и проверку. Для I-ой части с учётом того, что нужно решить ещё 8 больших заданий, это может оказаться проблемой многих школьников. Мне иногда не верится в свои решения. Может быть я выбираю сложные способы? Если есть более простые подходы, напишите мне о них. (Жми на конвертик!)

Что касается первой части в целом, то она стала сложнее, трудозатратнее, требует больше времени на выполнение. Действительно базовый уровень ушел.

Задание 15.

Примеры решения заданий второй части представлены непосредственно в демонстрационном варианте. Но для неравенств и их систем имеет большое значение прорисовка множеств на числовой оси, поэтому привожу здесь решение этого задания с рисунками. Другие типы неравенств можно найти здесь по ссылкам на этот номер.

Задача.
а) Решите неравенство \[ \log_{11}{(8x^2+7)} - \log_{11}{(x^2+x+1)} \ge \log_{11}{\left(\frac{x}{x+5} + 7\right)}.\] б) Решите уравнение \[ \sqrt{x^2+28x+196}+\sqrt{x^2 +8x+16} =10.\] в) Решите систему \[\begin{cases} \log_{11}{(8x^2+7)} - \log_{11}{(x^2+x+1)} \ge \log_{11}{\left(\dfrac{x}{x+5} +7\right)},\\\sqrt{x^2+28x+196}+\sqrt{x^2 +8x+16} =10.\end{cases}\]

Решение.

a) Решаем систему неравенств \[\begin{cases}8x^2+7>0; \;\;(1)\\x^2+x+1>0; \;\;(2)\\\dfrac{x}{x+5}+7>0; \;\;(3)\\ \log_{11}{\dfrac{8x^2+7}{x^2+x+1}} \ge \log_{11}{(\dfrac{x}{x+5} +7)}, \;\;(4)\end{cases}\] где первые 3 неравенства следуют из ограниченности области определения логарифма, т.е. это ОДЗ выражения, а 4-е неравенство уже частично преобразованно с использованием свойства разности логарифмов с одинаковым основанием.

(1) \(8x^2+7>0 \; \Leftrightarrow \; x \in (-\infty;\infty),\) т.к. состоит из положительных слагаемых;

(2) \(x^2+x+1>0; \; \Leftrightarrow \; x \in (-\infty;\infty),\) т.к. дискриминант квадратного трёхчлена \(D = 1^2-4\cdot1\cdot1 < 0\) и ветви соответствующей параболы направлены вверх, т.е. у графика нет отрицательной части;

(3) Решаем методом интервалов \[ \frac{x}{x+5}+ ^{\frac{x+5}{}}7>0;\\ \frac{8x+35}{x+5}>0;\]

интервалы неравенства
\[ x \in (-\infty;-5)\cup(-\frac{35}{8};+\infty).\]

(4) Так как основание логарифма 11>1, то переходим от логарифмического наравенства к рациональному ("отбраcываем логарифм") с сохранением знака неравенства \[\frac{8x^2+7}{x^2+x+1} \ge \frac{x}{x+5} +7\].
Преобразуем и также решаем методом интервалов
\[\frac{8x^2+7}{x^2+x+1} - \frac{x}{x+5}-7 \ge 0;\\ \frac{(8x^2+7)(x+5) -x(x^2+x+1) -7(x^2+x+1)(x+5)}{(x^2+x+1)(x+5)} \ge 0;\\ \frac{-3x^2-36x}{(x^2+x+1)(x+5)} \ge 0;\\ \frac{-3x(x+12)}{(x^2+x+1)(x+5)} \ge 0;\]

интервалы неравенства
\[ x \in (-\infty;-12]\cup(-5;0].\]

Чтобы завершить решение системы пересекаем все полученные множества. Фактически, это потребуется только для пунктов (3) и (4), потому что в (1) и (2) вся числовая ось.

интервалы неравенства

Итак, ответ на задание пункта a) виден из рисунка

Ответ a) \( x \in ( - \infty ; - 12];\left( - \dfrac{35} {8};0 \right]. \).

б) Квадратный корень имеет ограниченную область определения, поэтому иррациональное уравнение надо начинать решать с ОДЗ, т.е. с анализа подкоренных выражений. В данном случае замечаем, что оба квадратных трёхчлена образуют полные квадраты, поэтому область допустимых значений выражения \(x \in R\).
Преобразуем уравнение \[\sqrt{x^2+28x+196}+\sqrt{x^2 +8x+16} =10,\\ \sqrt{x^2+2\cdot14\cdot{x} + 14^2}+\sqrt{x^2 +2\cdot4\cdot{x} + 4^2} =10,\\ \sqrt{(x+14)^2}+\sqrt{(x+4)^2} =10,\\ |x+14|+|x+4| =10.\] Уравнение свелось к сумме модулей по определению арифметического квадратного корня. Нужно определить знаки постоянства подмодульных выражений, чтобы упростить уравнение дальше.\[|x+14|+|x+4| \; \Leftrightarrow \;\; \left[ \begin{array} {l} -(x+14)-(x+4),\text{ при } x \le -14;\\ (x+14)-(x+4),\text{ при } -14 < x < -4;\\ (x+14)+(x+4),\text{ при } x \ge -4. \end{array} \right.\] Таким образом, наше уравнение будет равносильно совокупности \[ \left[ \begin{array} {l} -2x-18 = 10,\text{ при } x \le -14;\\ 10 = 10,\text{ при } -14 < x < -4;\\ 2x+18 = 10,\text{ при } x \ge -4.\end{array} \right.\] Корни первого и третьего уравнений \(x= -14\) и \(x = -4\) являются границами интервала, на котором уравнение выродилось в тождество. Таким образом, оно верно для всех точек отрезка [−14;−4].

Ответ б) \( x \in [-14;-4]\).

в) Чтобы решить систему, представленную в последнем пункте задания достаточно пересечь множества из предыдущих двух ответов.

общее решение системы неравенств

Как видно из рисунка, решением этой системы будут промежутки [−14;−12] и \(\left( -\dfrac{35}{8};-4 \right].\)

Ответ в) \( x \in [-14;-12]\cup \left( - \dfrac{35}{8};-4 \right]\).

Вывод по варианту в целом: изменения делают вариант более интересным и насыщенным, но распределение заданий не соответствует заявленному уровню сложности, а главное, все представленные новые задания времяёмкие.