С вопросами, комментариями, мнением об экзаменах обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
И, пожалуйста, напишите об ошибке, если обнаружите таковую в моих решениях.
Задание 3.
На рисунке изображён график функции вида \(f(x)= ax^2 + bx + c,\) где числа \(a, b\; и \;c\) — целые. Найдите значение \(f(-12)\).
Решение. Способ II.
Формула функции – квадратный трёхчлен, график функции – парабола. Требуется определить значение функции в точке, которая не видна на графике, поэтому нужно воспользоваться формулой.
Так как по графику хорошо считывается вершина параболы – точка с координатами (−4;−3), то имеет смысл вспомнить, что вершина параболы связана с коэффициентами квадратного трёхчлена формулами \[x_в = -\dfrac{b}{2a};\;y_в = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}.\] И формулу функции (квадратный трёхчлен) представить в преобразованном виде \[ax^2 + bx + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} = a(x-x_в)^2 + y_в = a(x+4)^2 -3.\] В формуле остался один неизвестный коэффициент. Чтобы найти его значение, считаем с графика координаты еще одной точки, например (−3;−2) и подставим их в уравнение. \[f(x) = a\left(x+4\right)^2 -3\\ -2 = a(-3+4)^2 -3\;\; \Rightarrow \;\; a = 1.\] Таким образом, формула приобрела вид \(f(x) = (x+4)^2 -3\). Подстановкой находим искомое значение \(f(-12) = (-12+4)^2 -3 = 64-3=61.\)
Ответ: 61
Задание 11.
Спасибо Галине Дмитриевне Михайлиной за предложение использовать геометрическую интерпретацию комплексного числа. Технически это более быстрый способ решения, чем представленный ранее.
Про комплексное число \(z\) известно, что \(|z - 4 - 7i| = | z + 4 - i|\). Найдите наименьшее значение \(|z|\).
Решение. Способ II.
Рисунок 1 поясняет это утверждение: модуль разности двух чисел это расстояние между ними; в том случае, когда одно из чисел фиксировано, а второе переменная, то её значения, заданные модулем разности, располагаются на окружности с центром в известной точке. В нашем случае модули равны, соответственно мы рассматриваем пары окружностей одинакового радиуса. Равенство возможно для одного и того же значения переменной z, если эти окружности касаются или пересекаются, т.е. в точках срединного перпендикуляра.
Рисунок 2 содержит решение задачи. Если вы планируете использовать геометрические методы на экзаменах, имейте в виду, что все построения надо выполнять предельно аккуратно.
Итак, строим на клетчатой бумаге оси координат и отмечаем точки M и N, которые соединяем отрезком прямой. Через середину отрезка проводим перпендикуляр к нему - прямую KL. (В геометрии вы изучали способы построения срединного перпендикуляра циркулем и линейкой, здесь можно ориентироваться на узлы сетки и использовать линейку.)
Искомый модуль \(|z|\) - это расстояние от центра координат O(0;0) до точки \(z\), расположенной на прямой KL. Наименьшее значение модуля \(|z|\) это наименьшее расстояние от точки O до прямой KL, т.е. перпендикуляр ОH. В нашем случае ОH является высотой прямоугольного треугольника KOL с известными катетами KO = 4, OL = 3. Определяем гипотенузу KL = 5 (по теореме Пифагора или через Египетский треугольник) и находим высоту через площадь. \[S = \frac{KO\cdot OL}{2} = \frac{KL\cdot OH}{2};\\ OH = \frac{KO\cdot OL}{KL} = \frac{4\cdot3}{5} = 2,4.\]
Ответ: 2,4
Замечание. В самом деле "Известные катеты KO = 4 и OL = 3" – это сильное утверждение. Они не известные, а найденные путём построения и, соответственно, их величины зависят от точности этого процесса. Например, пересечение оси ординат прямой KL, вы можете увидеть не в точке 4, а ниже или выше узла, в точке 3,8 или 4,2. Надеюсь, что в первой части ЕГЭ по математике, к которой будет относиться эта задача, разработчики вариантов будут ориентироваться на целые числа и хорошо просматриваемые на клетках значения, но студентов, изучающих аналитическую геометрию, хочу предостеречь - в аналогичных заданиях ваших контрольных могут быть "некруглые" числа. Для проверки видимых значений используйте их подстановку в уравнения прямых.