Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с исследованием функций и их производных. В частности, речь идёт о поиске максимальных и минимальных значений функций, заданных аналитически, то есть формулой.
Точкой максимума (минимума) функции y = f(x) называется значение аргумента x = a такое, что существует окрестность точки a, в которой f(x) < f(a) ( f(x) > f(a) ) для x ≠ a.
Максимумом (минимумом) функции называется её значение в точке экстремума, т.е. величина f(a).
- если в задании стоит требование определить точки экстремума в ответе следует писать найденные значения x,
- если нужно указать сами экстремумы, то нужно определить значения y в этих точках, подставив их в формулу функции y = f(x).
Что касается наибольших и наименьших значений функции на заданном отрезке, то для непрерывной функции они могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Графические иллюстрации к этой теме можно посмотреть здесь.
Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка совпадает с точкой соответствующего экстремума. Для ответа на такой вопрос задания следует сравнить значения функции в точках экстремума с её значениями на концах отрезка. (На практике для решения этой задачи не обязательно определять вид экстремума, достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка и сравнить их между собой.)
- Задачи на нахождение точек экстремума функции.
- Задачи на нахождение экстремумов функции.
- Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.
В 2022 году это задание имеет номер 11.
Задачи на нахождение точек экстремума функции.
Алгоритм нахождения точек экстремума.
1) Найти область определения функции.2) Найти её производную f '(x).
3) Найти точки, в которых f '(x) не существует.
4) Найти точки в которых f '(x) = 0.
5) Отметить на числовой прямой область определения функции и все точки, выявленные в п.3 и п.4. Получатся промежутки области определения, на которых производная сохраняет постоянный знак.
6) Определить знак f '(x) для каждого промежутка. (Чаще всего это делается подстановкой "удобного" значения x из этого промежутка в полученную в п.2 формулу для производной.)
7) Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере в каждой из критических точек.
Задача 1
Найдите точку максимума функции y = (x + 7)·e7 − x.
1) Функция представляет собой произведение линейной и показательной функций, которые определены на всей действительной оси.
D(f) = (−∞;∞).
2) Вычисляем производную, пользуясь правилом дифференцирования произведения и формулами для производной степенной и показательной функций.
y' = ( (x + 7)·e7 − x )' =
= (x + 7)'·e7 − x + (x + 7)·(e7 − x)' =
= (1 + 0)·e7 − x + (x + 7)·e7 − x·(7 − x)' =
= e7 − x + (x + 7)·e7 − x·(0 − 1) =
= e7 − x − (x + 7)·e7 − x.
Вычисление производной завершено, но для облегчения действий в следующих пунктах, стоит преобразовать её к наиболее компактному виду.
e7 − x − (x + 7)·e7 − x = e7 − x·(1 − x − 7) = −e7 − x·(x + 6).
Итак, y ' = −e7 − x·(x + 6).
3) Выражение −e7 − x·(x + 6) определено во всех точках действительной оси.
Точек, где y' не существует, нет.
4) Решаем уравнение
−e7 − x·(x + 6) = 0.
e7 − x ≠ 0 при любых значениях x,
(x + 6) = 0 при x = −6.
5) Изображаем "бесконечную" числовую ось, совпадающую в нашем случае с областью определения функции. Отмечаем на ней единственную найденную критическую точку x = −6.
6) Определяем знаки производной на получившихся двух участках оси.
При x < −6, например при x = −10, имеем
y' = −e7 − x·(x + 6) = −e7 + 10·(−10 + 6) = −e17·(−4) = 4e17 ≈ 4·2,717 > 0.
При x > −6, например при x = 7, имеем
y' = −e7 − x·(x + 6) = −e7 − 7·(7 + 6) = −e0·13 = −1·13 = −13 < 0.
Отмечаем на оси знаком "+" участок, где y' > 0 и знаком "−", где y' < 0.
7) На участках, где производная положительна, функция возрастает, а где производная отрицательна, фукнция убывает. Расставляем на рисунке соответствующие стрелочки. По стрелочкам видно, что в точке x = −6 функция переходит от возрастания к убыванию, значит это и есть искомая точка максимума.
Ответ: −6
Теперь проверьте свои силы. Сначала постарайтесь решить задачу самостоятельно, затем сравните ответ, потом можно раскрыть моё решение. Если ваше решение не совпадает с моим, оно не обязательно является неправильным.
Задача 2
Найдите точку минимума функции y = 4x − ln(x + 11) + 12.
Решение
По определению логарифма x + 11 > 0, следовательно D(f) = (−11;+∞).
y' = 4 − 1______x + 11 = ______4x + 43 x + 11.
В производной x ≠ −11, но это значение не входит в область определения функции, поэтому критической точкой не является.
y' = 0 при 4x + 43 = 0; x = −10,75.
y'(−10,9) = −0,6/0,1 = −6 < 0;
y'(−10) = 3/1 = 3 > 0;
Ответ: −10,75
Задача 3
Найдите точку максимума функции y = √16 − 4x − x2___________ .
Решение
По определению арифметического корня 16 − 4x − x2 ≥ 0. Полностью решать это неравенство пока не будем. Заметим только, что это квадратное неравенство и ветви соответствующей параболы направлены вниз. Можно сделать вывод, что неотрицательные значения квадратный трёхчлен будет иметь на участке между его корнями. D(f) = [x1 ; x2].
y' = 1____________2√16 − 4x − x2__________ ·(16 − 4x − x2)' = − x + 2___________√16 − 4x − x2__________ .
y' не существует в точках, где знаменатель дроби равен нулю, т.е.
при 16 − 4x − x2 = 0. Эти точки мы уже обозначили x1 и x2. Они являются краями области определения функции.
y' = 0 при x + 2 = 0, x = −2.
Выбираем значения x для проверки знаков производной на получившихся двух участках. Пусть это будут −3 и 0. Убедимся, что не промахнулись мимо области определения функции, т.е. в том, что для этих точек выполняется неравенство для подкоренного выражения. (Если бы мы сразу дорешали неравенство до конца, то этого делать бы не пришлось. Точки выбирались бы по рисунку.)16 − 4x − x2 ≥ 0.
16 − 4·(−3) − (−3)2 = 19 ≥ 0.
16 − 4·0 − 02 = 16 ≥ 0.
Определяем знаки производной в этих точках
y'(x) = − x + 2___________√16 − 4x − x2__________ .
y'(−3) = − −3 + 2_____√19 __ = 1___√19 __ > 0.
y'(0) = − 0 + 2____√16 __ = − 2_4 = −0,5 < 0.
Ответ: −2
Замечание: Для кого-то может оказаться легче сразу решить квадратное уравнение и рисовать итоговый чертёж явно. Делайте так.
В данном случае x1 = −2 − 2√5_ ≈ −6,5; x2 = −2 + 2√5_ ≈ 2,5.
Задача 4
Найдите точку минимума функции y = (0,5 − x)cosx + sinx, принадлежащую промежутку (0, π/2).
Решение
D(f) = (−∞;∞).y' = (0,5 − x)'·cosx + (0,5 − x)·(cosx)' + (sinx)' =
= −cosx − (0,5 − x)·sinx + cosx = (x − 0,5)·sinx
Решаем уравнение y' = 0.
(x − 0,5)·sinx = 0 в случаях, когда
либо (x − 0,5) = 0, x = 0,5;
либо sinx = 0, xn = πn.
Значения, кратные π, не принадлежат промежутку. При n = 0, x0 = 0, но заданный помежуток интервал и 0 в него не входит. Остальные значения больше π/2 или меньше 0.
0 < 0,5 < π/2 ≈ 1,57. Точка x = 0,5 входит в заданный промежуток и является точкой экстремума. Она является единственным кандидатом на ответ. Однако, следует убедиться, что это именно минимум функции. Для проверки знаков производной в окрестности x = 0,5 возьмём, например, x = 0,45 и x = 0,55.
y'(0,45) = (0,45 − 0,5)·sin0,45 = −0,05sin0,45 < 0;
y'(0,45) = (0,55 − 0,5)·sin0,55 = 0,05sin0,55 > 0
Таким образом, левеее точки 0,5 функция убывает, правее возрастает. Точка является точкой минимума.
Ответ: 0,5
Замечание: sin0,45 и sin0,55 положительны, т.к. исследуемый интервал соответствует первой четверти тригонометрического круга.
Задачи на нахождение экстремумов функции.
1) Находим точки экстремумов функции и определяем их характер так же, как в задачах выше.2) Определяем значения функции в точках максимума или минимума в соответствии с вопросом задачи.
3) Если точек максимума (минимума) на области определения функции несколько, то максимумы (минимумы) называются локальными, а самый большой (самый маленький) называется глобальным максимумом (минимумом) или наибольшим (наименьшим) значением функции. Ещё раз читаем вопрос задачи и выбираем нужный.
Задача 5
Найдите наибольшее значение функции y = √5 − 4x − x2_________ .
Решение
Первая часть решения полностью совпадает с решением задачи 3.5 − 4x − x2 ≥ 0. D(f) = [x1 ; x2]. Здесь x1 = −5; x2 = 1.
y' = − x + 2___________√5 − 4x − x2__________ .
y' не существует в точках −5 и 1.
y' = 0 при x + 2 = 0, x = −2.
y'(−3) = 1__√8_ > 0; y'(0) = − 2__√5_ < 0.
Определяем значение функции в этой точке
y(x) = √5 − 4x − x2__________
y(−2) = √5 − 4·(−2) − (−2)2_______________ = √9_ = 3.
По стрелкам на рисунке видно, что максимум на всей области определения функции единственный, поэтому полученное значение y(−2) = 3 и будет наибольшим значением функции.
Ответ: 3
Задача 6
Найдите наименьшее значение функции y = log3(x2 − 6x + 10) + 2.
Решение
По определению логарифма x2 − 6x + 10 > 0. Дискриминант этого квадратного трёхчлена D = 36 − 40 < 0, коэффициент при x2 равен 1 > 0, следовательно все его значения положительны. Область определения функции D(f) = (−∞;+∞).
y' = 1______________ (x2 − 6x + 10)·ln3·(x2 − 6x + 10)'+ 0 = ______________ 2x − 6(x2 − 6x + 10)·ln3.
Знаменатель этой дроби > 0 (ln3 > 1, т.к. 3 > e ≈ 2,7), поэтому точек, где y' не существует, нет.
y' = 0, если 2x − 6 = 0; x = 3.
Найденная точка экстремума единственная на области определения функции, разбивает её на два участка, причем при x < 3 y' < 0, а при x > 3 y' > 0, значит это точка глобального минимума.Находим значение функции в этой точке
y(3) = log3(x2 − 6x + 10) + 2 = log3(32 − 6·3 + 10) + 2 = log31 + 2 = 0 + 2 = 2.
Это наименьшее значение функции на всей области определения.
Ответ: 2
Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.
Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений либо во внутренних точках промежутка, либо на его концах. Поэтому для решения задач этого раздела достаточно определить значения функции в точках экстремума и сравнить их с её значениями на концах отрезка. Выявлять тип экстремума необязательно.
Если не будет соблюдено хотя бы одно из двух условий - функция окажется разрывной или в качестве промежутка будет задан интервал (полуинтервал), то потребуется полный анализ поведения функции и её производной, и не факт, что ответ будет существовать. На ЕГЭ задач с такими усложненными условиями пока не обнаружено, а те, кому просто интересно, могут пройти по ссылке и посмотреть здесь.Задача 7
Найдите наибольшее значение функции y = x3 + 2x2 + x + 3 на отрезке [−4;−1].
y' = 3x2 + 4x + 1.
Функция непрерывна на всей области определения.
Точек, где y' не существует, нет.
Решаем уравнение y' = 0: 3x2 + 4x + 1 = 0
Дискриминант D = 16 − 12 = 4. Корни x1,2 = −4 ± 2______ 6, x1 = −1/3; x2 = −1.
Находим значения функции в этих точках и на краях отрезка
y(x) = x3 + 2x2 + x + 3;
y(−4) = (−4)3 + 2(−4)2 − 4 + 3 = −64 + 2·16 − 4 + 3 = −33;
y(−1/3) = (−1/3)3 + 2(−1/3)2 − 1/3 + 3 = −1/27 + 2·1/9 −1/3 + 3 = 223__27;
y(−1) = (−1)3 + 2·(−1)2 − 1 + 3 = −1 + 2 − 1 + 3 = 3.
Ответ: 3
Задача 8
Найдите наибольшее значение функции y = 36tgx − 36x + 9π + 7 на отрезке [−π/4; π/4].
Решение
На отрезке [−π/4; π/4] заданная функция определена и непрерывна (см. график tgx).y' = 36·_____ 1cos2x − 36 + 0;
y' не существует при cosx = 0, xn = _π2·n, n Є Z. Ни одна из этих точек не входит в промежуток [−π/4; π/4].y' = 0 при cos2x = 1, cosx = ±1, xk = πk, k Є Z. Отрезку [−π/4; π/4] принадлежит только точка x0 = 0.
Определяем значения функции в этой точке и на концах отрезка.y(x) = 36tgx − 36x + 9π + 7
y(0) = 36tg0 − 36·0 + 9π + 7 = 0 − 0 + 9π + 7 ≈ 9·3,14 + 7 = 35,26
y(−π/4) = 36tg(−π/4) − 36·(−π/4) + 9π + 7 = 36·(−1) + 9π + 9π + 7 = −29 + 18π ≈ −29 + 18·3,14 = 27,52
y(π/4) = 36tg(π/4) − 36·π/4 + 9π + 7 = 36·1 − 9π + 9π + 7 = 43.
Самым большим из этих чисел является число 43.
Ответ: 43
Замечание: При дифференцировании не забудьте, что π - такая же константа, как любое другое число. Поэтому π' = 0.
Задача 9
Найдите наибольшее значение функции y = 2x2 − 13x + 9lnx + 8 на отрезке [13__14 ; 15__14] .
Решение
Функция определена и непрерывна при всех x > 0, в том числе и на отрезке [13__14 ; 15__14].
y' = 4x − 13 + 9·1_x + 0 = 4x2 − 13x + 9___________ x
y' не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток. Не рассматриваем.y' = 0 при 4x2 − 13x + 9 = 0
Решаем это квадратное уравнение через дискриминант, находим корни x1 = 1, x2 = 9/4 = 2,25.
x1 = 1 является серединой заданного отрезка, x2 = 2,25 не принадлежит отрезку. Значит нужно определить значения функции y(13/14), y(1) и y(15/14) и сравнить их между собой. Однако в данном случае вычисление значений y(13/14) и y(15/14) может оказаться слишком громоздким и с большой вероятностью привести к ошибкам. Проще вернуться к исследованию поведения производной в окрестности найденной точки экстремума.
y' представляет собой дробь, знаменатель которой на отрезке [13/14;15/14] положителен. Значит знак производной на этом отрезке зависит только от числителя, т.е. определяется знаком квадратного трёхчлена 4x2 − 13x + 9. 
Графиком этого квадратного трёхчлена является парабола с ветвями, направленными вверх (4 > 0), пересекающая ось абсцисс в двух точках x1 и x2. Чертим "от руки" эскиз этого графика и видим, что левее корня x1 квадратный трёхчлен, а значит и вся производная будут иметь знак "+", а правее - знак "−".
Вывод: заданная в условии задачи функция на заданном отрезке левее x1 = 1 возрастает, правее - убывает. Эта точка является точкой максимума внутри отрезка, значение функции в ней будет наибольшим.
Определяем его
y(x) = 2x2 − 13x + 9lnx + 8
y(1) = 2·12 − 13·1 + 9·ln1 + 8 = 2 − 13 + 9·0 + 8 = −3.
Ответ: −3
Задача 10
Найдите наименьшее значение функции y = x2 + 25______ x на отрезке [1;10].
Решение
На отрезке [1;10] функция определена и непрерывна (x = 0 не принадлежит отрезку).
y' = (x2 + 25)'·x − x'·(x2 + 25)_____________________ (x)2 = (2x + 0)·x − 1·(x2 + 25)___________________ x2 = x2 − 25______ x2.
y' не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток.
y' = 0 при x2 − 25 = 0, x2 = 25, x = ±5.
x1 = −5 не принадлежит отрезку [1;10], x2 = 5 внутренняя точка отрезка.Находим значения функции
y(x) = x2 + 25______ x;
y(1) = 12 + 25______ 1 = 26;
y(5) = 52 + 25______ 5 = 10;
y(10) = 102 + 25_______ 10 = 12,5.
Наименьшее значение y(5) = 10.Ответ: 10
Вернуться и повторить другие задачи на производную.
- Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
- Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
- Задачи на геометрический смысл производной.
- Задачи на физический смысл производной.
Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математке.