Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с исследованием функций и их производных.
- Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
- Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
- Задачи на геометрический смысл производной.
- Задачи на физический смысл производной.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 6 для профильного уровня.
Посмотрите внимательно на эти три графика функций. 
Заметили ли вы, что эти функции в некотором смысле "родственники"?
Например, на тех участках, где график зеленой функции расположен выше нуля, красная функция возрастает. На тех участках, где график зеленой функции ниже нуля, красная функция убывает.
Аналогичные замечания можно сделать относительно красного и синего графиков.
Также можно заметить, что нули зеленой функции (точки x = −1 и x = 3) совпадают с точками экстремумов красного графика: при x = −1 на красном графике мы видим локальный максимум, при х = 3 на красном графике локальный минимум.
Нетрудно заметить, что локальные максимумы и минимумы синего графика достигаются в тех же точках, где красный график проходит через значение y = 0.
Можно сделать еще несколько выводов об особенностях поведения этих графиков, потому что они действительно связаны между собой. Посмотрите на формулы функций, расположенные под каждым из графиков, и путем вычислений убедитесь, что каждая предыдущая является производной для последующей и, соответственно, каждая следующая является одной из превообразных предыдущей функции.
φ1(x) = φ'2(x) φ2(x) = Φ1(x)
φ2(x) = φ'3(x)
φ3(x) = Φ2(x)
Производная функции y = f(x) в точке х выражает скорость изменения функции в точке x.
Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).
Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.
Могу ли я спросить вас о чем то, связанном с поведением функции φ2(x), если известно, что она является производной функции φ3(x) и первообразной функции φ1(x)?
Могу. И на многие вопросы можно дать точный ответ, ведь мы знаем, что производная является характеристикой скорости изменения функции, поэтому можем судить о некоторых особенностях поведения одной из этих функций, глядя на график другой.
Прежде, чем отвечать на следующие вопросы, прокрутите страницу вверх так, чтобы скрылся верхний рисунок, содержащий красный график. Когда ответы будут даны, верните его обратно, чтобы проверить результат. И только после этого смотрите моё решение.
Итак:
Решение
По графику производной видно, что на участке [−3;−2] её значения строго положительны, значит функция на этом участке только возрастает, поэтому значение функции в левом конце x = −3 меньше, чем её значение в правом конце x = −2.Ответ: φ2(−3) < φ2(−2)
Решение
По графику первообразной видно, что точка x = −1 находится на участке возрастания, следовательно значение соответсвующей производной положительно. Точка x = 4 находится на участке убывания и значение соответствующей производной отрицательно. Поскольку положительное значение больше отрицательного, делаем вывод - значение неизвестной функции, которая как раз и является производной, в точке 4 меньше, чем в точке −1.Ответ: φ2(−1) > φ2(4)
Подобных вопросов по отсутствующему графику можно задать много, что обуславливает большое разноообразие задач с кратким ответом, построенных по такой же схеме. Попробуйте решить некоторые из них.
Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Задача 1
На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.Решение
Производная функции положительна на тех участках, где функция возрастает. По рисунку видно, что это промежутки (−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечислим целые точки внутри этих интервалов: "−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6", "7","8", "16","17", "18". Всего 15 точек.Ответ: 15
Замечания.
1. Когда в задачах о графиках функций требуют назвать "точки", как правило, имеют в виду только значения аргумента x, которые являются абсциссами соответствующих точек, расположенных на графике. Ординаты этих точек - значения функции, они являются зависимыми и могут быть легко вычислены при необходимости.
2. При перечислении точек мы не учитывали края интервалов, так как функция в этих точках не возрастает и не убывает, а "разворачивается". Производная в таких точках не положительна и не отрицательна, она равна нулю, поэтому они называются стационарными точками. Кроме того, мы не рассматриваем здесь границы области определения, потому что в условии сказано, что это интервал.
Задача 2
На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции f '(x) отрицательна.Решение
Производная функции отрицательна на тех участках, где функция убывает. По рисунку видно, что это промежутки (−7,6;−1) и (8,2;15,7). Целые точки внутри этих интервалов: "−7","−6", "−5","−4", "−3","−2", "9","10", "11","12", "13","14", "15". Всего 13 точек.Ответ: 13
См. замечания к предыдущей задаче.
Для решения следующих задач нужно вспомнить еще одно определение.
Однако необходимое условие - это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с "+" на "−", то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с "−" на "+" , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.
Задача 3
На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.Решение
Вспомним, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b, где k - коэффициент наклона этой прямой к оси Ox. В нашем случае k = 0, т.е. прямая y = 6 не наклонена, а параллельна оси Ox. Значит искомые касательные также должны быть параллельны оси Ox и также должны иметь коэффициент наклона 0. Таким свойством касательные обладают в точках экстремумов функций. Поэтому для ответа на вопрос нужно просто посчитать все точки экстремумов на графике. Здесь их 4 - две точки максимума и две точки минимума.Ответ: 4
Задача 4
На рисунке 2 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке [2;10].Решение
На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x1 = 4, минимум в точке x2 = 8.x1 + x2 = 4 + 8 = 12.
Ответ: 12
Задача 5
На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых производная функции f '(x) равна 0.Решение
Производная функции равна нулю в точках экстремума, которых на графике видно 4:2 точки максимума и 2 точки минимума.
Ответ: 4
Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Задача 6
На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [−6;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.Решение
На указанном отрезке производная нигде не была положительной, следовательно функция не возрастала. Она убывала или проходила через стационарные точки. Таким образом, наибольшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = −6.Ответ: −6
Замечание: По графику производной видно, что на отрезке [−6;2] она равна нулю трижды: в точках x = −6, x = −2, x = 2. Но в точке x = −2 она не меняла знака, значит в этой точке не могло быть экстремума функции. Скорее всего там была точка перегиба графика исходной функции.
Задача 7
На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [3;5] функция принимает наименьшее значение.Решение
На отрезке [3;5] производная строго положительна, следовательно функция на этом участке только возрастала. Таким образом, наименьшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = 3.Ответ: 3
Задача 8
На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−5;10].Решение
Согласно необходимому условию экстремума максимум функции может быть в точках, где её производная равна нулю. На заданном отрезке это точки: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Но согласно достаточному условию он точно будет только в тех из них, где знак производной меняется с "+" на "−". На графике производной мы видим, что из перечисленных точек такой является только точка x = 6.Ответ: 1
Задача 9
На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [0;20].Решение
Экстремумы функции могут быть в тех точках, где её производная равна 0. На заданном отрезке графика производной мы видим 5 таких точек: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Но в точке x = 14 производная не поменяла знак, следовательно её надо исключить из рассмотрения. Таким образом, остаются 4 точки.Ответ: 4
Задача 10
На рисунке 1 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.Решение
Промежутки возрастания функции совпадают с промежутками положительности производной. На графике мы видим их три - (−9;−7), (4;12), (18;19). Самый длинный из них второй. Его длина l = 12 − 4 = 8.Ответ: 8
Задача 11
На рисунке 2 изображен график f '(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.Решение
Угловой коэффициент (он же тангенс угла наклона) заданной прямой k = −2. Нас интересуют параллельные или совпадающие касательные, т.е. прямые с таким же наклоном. Исходя из геометрического смысла производной - угловой коэффициент касательной в рассматриваемой точке графика функции, пересчитываем точки, в которых производная равна −2. На рисунке 2 таких точек 9. Их удобно считать по пересечениям графика и линии координатной сетки, проходящей через значение −2 на оси Oy.Ответ: 9
Как видите, по одному и тому же графику можно задать самые разнообразные вопросы о поведении функции и её производной. Также один тот же вопрос можно отнести к графикам разных функций. Будьте внимательны при решении этой задачи на экзамене, и она покажется Вам очень легкой. Другие виды задач этого задания - на геометрический смысл первообразной - будут рассмотрены в другом разделе.
Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.