Задача ЕГЭ по математике: стереометрия.

Задачи ЕГЭ по стереометрии многообразны. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут встретиться под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номерами 5 и 13 для профильного уровня. На этом сайте они расположены на нескольких страницах и упорядочены по геометрическим телам. Соответствующие ссылки расположены справа и в конце статьи.
Непосредственно на этой странице рассмотрены темы - конус, цилиндр и прямоугольный параллелепипед.

Конус

В школе рассматривают не конус вообще, а только прямой круговой конус, называя его просто конусом. Поэтому вместо общего определения используем следующий факт:

На рисунках изображен конус, полученный вращением закрашенного треугольника. Таким образом, ΔASO и ΔOSB - это, по существу, один и тот же треугольник в разных положениях при вращении вокруг оси SO. Катет SO является высотой конуса - h, второй катет (AO = OB) равен радиусу основания - r, длина гипотенузы (SA = SB) равна длине образующей - l.
Такое определение конуса даёт нам сразу две подсказки, как перейти к планиметрии:
- сечение плоскостью, проходящей через ось вращения, (обычно, это вертикальное сечение) позволяет свести задачу к рассмотрению прямоугольного или равнобедренного треугольника,
- сечение плоскостью, перпендикулярной оси вращения, (обычно, это горизонтальное сечение) позволяет свести задачу к свойствам круга.

Ниже вы видите чертежи на плоскости вместе с формулами, которыми можно пользоваться в этом разделе.
На синем рисунке представлены развёртка боковой поверхности конуса и его основание.

На красном рисунке - осевое сечение конуса со всеми обозначениями, которые могут понадобиться при решении следующих трёх задач.

Цилиндр

Так же, как и в случае с конусом, нам не потребуется общее определение цилиндра. В школьном курсе изучают прямой круговой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

На рисунках изображен цилиндр, полученный вращением закрашенного прямоугольника. Сторона, которая служит осью вращения, - высота цилиндра. Боковая поверхность цилиндра создается "следом" противолежащей стороны, а основания - "следами" двух оставшихся сторон.

Такой цилиндр очень простое тело. Все его сечения плоскостями, параллельными оси, прямоугольники, а сечения плоскостями, перпендикулярными оси, равные круги. Длина образующей равна длине высоты. Развертка боковой поверхности тоже является прямоугольником. Можно свернуть стандартный лист "в трубочку" или оторвать и развернуть этикетку от консервной банки, например, из-под сгущенки, чтобы убедиться, что одна сторона этого прямоугольника (развертки) равна высоте цилиндра, а другая - длине окружности основания. А если вы это сделаете буквально, то ассоциативная память поможет легче и надежнее запомнить все нужные формулы.

Объем цилиндра V = πr ²h;
площадь боковой поверхности цилиндра S_б = 2πrh;
площадь полной поверхности цилиндра S_п = 2πrh + 2πr²,
где r - радиус основания цилиндра, h - его высота (см. рисунок).

Прямоугольный параллелепипед

Алгоритм решения задач:
1. Чертим прямоугольный параллелепипед. Не обязательно в масштабе, можно от руки.
2. Подписываем вершины. Отмечаем на чертеже упомянутые в условии точки. Соединяем линиями, где это необходимо.
3. Ставим известные (заданные) значения прямо на чертеже.
4. Если получился треугольник внутри тела, то выясняем есть ли в нем прямой угол и какой именно. Для этого пользуемся теоремами о перпендикуляре к плоскости или о трех перпендикулярах.
5. Чертим этот треугольник на плоскости. На нем также отмечаем заданные и искомые величины, если нужно, перенося числа с параллельных ребер.
6. Проводим необходимые вычисления по известным формулам. Как правило, это будут теорема Пифагора и определения синуса и косинуса острых углов прямоугольного треугольника.

В решениях задач, которые даны ниже, рисунки цветные. Строго говоря, это не чертеж, а картинка, раскрашенная для лучшего восприятия. Если занимаетесь серьезно, то повторите их для себя в черно-белом варианте. При необходимости, пользуйтесь штриховкой.

Решение

Отмечаем на чертеже вершины A и D₁, соединяем их прямой линией. Длина отрезка AD₁ и есть искомое расстояние. Из чертежа видно, что нужный отрезок является диагональю передней грани, т.е. прямоугольника AA₁D₁D со сторонами 3 и 4. Находим квадрат диагонали (по обычной теореме Пифагора) AD₁² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Следовательно, AD₁ = 5.

Ответ: 5

Замечание: Получается так, что AB = 5 дано, но не нужно для этой задачи. Пусть вас это не смущает. Просто параллелепипед задан полностью, а задача касается только одной грани.

Решение

Способ I.

Отмечаем на чертеже вершины C и A₁, соединяем их прямой линией. Видим, что отрезок A₁С находится внутри тела, соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани, т.е. является диагональю параллелепипеда размером 5×4×3. Квадрат диагонали находим по "трёхмерной теореме Пифагора":

d ² = 5² + 4² + 3² = 25 + 16 + 9 = 50.

Это и есть ответ.

Способ II.

Начинаем также, как в первом способе. Нужно вычислить квадрат отрезка A₁С. Соединяем точки С и A, чтобы получить прямоугольный треугольник, в котором A₁С - гипотенуза. Убеждаемся, что это так рассуждением: так как ребро AA₁ перпендикулярно плоскости грани ABCD, значит оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и АС (теорема о перпендикуляре к плоскости). Таким образом, угол A₁AC прямой. Чертим этот треугольник на плоскости, отмечаем на нем известные и искомые величины. Чтобы найти квадрат гипотенузы нужно знать два катета, а у нас на плоском чертеже подписан один. AC неизвестен, но из объемного чертежа видно, что он является диагональю нижней грани, т.е. прямоугольника со сторонами 5 и 4. Вычисляем, дважды применяя обычную теорему Пифагора:
AС ² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41.
A₁С ² = AС ² + AA₁ ² = 41 + 3² = 41 + 9 = 50.

Ответ: 50

Замечания:
1) Будьте внимательны к тому, что просят написать в ответе. Сравните - в предыдущей задаче "Найдите расстояние... ", в этой "Найдите квадрат расстояния... "
2) Решение этой задачи вторым способом, безусловно, хуже первого. Но что делать, если какая-то формула или теорема в своё время была не доучена? Лучше решать долго и некрасиво, чем не решить никак. Однако, дальше для определения диагонали прямоугольного параллелепипеда я буду использовать только первый способ.

Решение

Задача, по-существу, такая же, как предыдущая. Ведь в формуле

d ² = a ² + b ² + c ²

d - любая диагональ прямоугольного параллелепипеда, a,b,c - три его характерных размера, каким бы образом их не задали. Поэтому

d ² = 1² + 2² + 2² = 1 + 4 + 4 = 9. d = 3.

Следовательно, диагональ CA₁ = 3.

Ответ: 3

Замечание: Будьте внимательны к тому, что просят написать в ответе. Сравните - в предыдущей задаче "Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A₁... ", в этой "Найдите длину диагонали CA₁... "

Решение

Отмечаем на чертеже вершины A, B, D₁, соединяем их прямыми линиями. Закрашиваем треугольник, который содержит искомый угол. Этот треугольник прямоугольный, так как ребро AB перпендикулярно плоскости грани AA₁D₁D, значит оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и АD₁, т.е. угол BAD₁ прямой. Рисуем прямоугольный треугольник на плоскости, отмечаем известные и искомые величины. Чтобы найти острый угол прямоугольного треугольника, нужно знать его синус или косинус, т.е. отношение одного из катетов к гипотенузе. Длина гипотенузы BD₁ неизвестна, но из объемного чертежа видно, что эта линия соединяет вершины, не принадлежащие одной грани, т.е. является диагональю параллелепипеда размером 5×4×3. Находим квадрат диагонали

d ² = 5² + 4² + 3² = 25 + 16 + 9 = 50.

Следовательно, BD₁ = d = √50__ = 5√2_. К искомому углу прилежит известный катет AB. Отношение прилежащего катета к гипотенузе - косинус: cos ABD₁ = AB/BD₁ = 5/(5√2_) = 1/(√2_) = √2_/2. Это табличное значение косинуса, которое так часто встречалось на уроках, что вы должны были уже запомнить его наизусть: cos45° = √2_/2. Значит угол ABD₁ = 45°

Ответ: 45

Решение

Все 3 точки искомого угла принадлежат одной грани BB₁C₁C. Таким образом, сразу видно, что угол C₁BC находится в прямоугольном треугольнике с катетами ВС = AD = 4 и CС₁ = AA₁ = 4. Получилось, что катеты BC и CС₁ равны (оба по 4). Пользуясь этим, делаем вывод, что этот треугольник равнобедренный, значит его острые углы по 45°
180 − 90 = 90; 90/2 = 45.

Ответ: 45

Замечание: Вместо равенства катетов, можно воспользоваться значением тангенса или синуса искомого угла, предварительно вычислив их, как это сделано в следующей задаче. А если катеты не равны, то нужно вычислять синус, или косинус, или тангенс, смотря, какие стороны вам известны.

Решение

Строим треугольник с вершинами в точках D, B, D₁. Отрезок D₁D перпендикулярен BD, потому что перпендикулярен всей плоскости ABCD. Катет, противолежащий искомому углу известен. Если мы найдем второй катет, то сможем определить тангенс угла, а если найдем гипотенузу, то - синус. Обычно, я предпочитаю второй вариант, но он не всегда лучший. Давайте, сделаем обоими способами:

a) найдём BD как диагональ прямоугольника ABCD. BD ² = 4² + 3² = 25; BD = 5.
   tgD₁BD = D₁D/BD = 5/5 = 1. Это табличное значение тангенса. Угол равен 45°.
b) найдём BD₁ как диагональ всего параллелепипеда. BD₁² = 4² + 3² + 5² = 50; BD₁ = 5√2_.
   sinD₁BD = D₁D/BD₁ = 5/(5√2_) = 1/(√2_) = √2_/2. Это табличное значение синуса. Угол равен 45°.

Ответ: 45

Решение

Все параллельные ребра равны, т.е. AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁, и вместо AA₁ можно находить любое из трех последних.
Строим прямоугольный треугольник, который включает данный отрезок BD₁. Одной из его сторон является D₁D, её длину и будем находить.
D₁D перпендикулярно BD, потому что перпендикулярно всей плоскости ABCD, значит BD₁ - гипотенуза, DD₁ - катет. Найдём BD² как квадрат диагонали прямоугольника ABCD:
BD² = 2² + 2² = 8.
По теореме Пифагора для треугольника BDD₁ находим:
DD1² = BD₁² − BD² = 3² − 8 = 9 − 8 = 1; D₁D² = 1, значит D₁D = 1.

Ответ: 1

Упомянутая литература:
1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. "Математика: Справочные материалы"

Очевидно, что этими темами варианты задания не ограничиваются. Чтобы продолжить подготовку к заданию по стереометрии, перейдите по ссылкам на другие станицы сайта.

Вернуться  к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математике.

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней.
E-mail: mathematichka@yandex.ru

Внимание,   © mathematichka.
Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.