Задание с кратким ответом: стереометрия - многогранник.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ по математике 2022 года задачи по стереометрии встречаются под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номерами 5 и 13 для профильного уровня.

Здесь мы рассмотрим задачи, которые содержат многогранник с прямыми двугранными углами. Чтобы обратиться к другим типам этого задания по стереометрии (варианты с конусом, цилиндром, прямоугольным параллелепипедом, призмой и пирамидой) перейдите по ссылкам справа или в нижней части страницы.

Многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. Углы, образуемые двумя соседними гранями и их продолжениями, являются двугранными углами. Мерой двугранного угла служит соответствующий ему линейный угол. Линейный угол расположен в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла, и образован двумя полупрямыми - линиями пересечения этой плоскости с гранями.

Обратите внимание, что в условии всех задач, которые мы будем решать ниже, встречается фраза "Все двугранные углы многогранника прямые". Опираясь на это и определение меры двугранного угла, легко доказать, что грани (плоские многоугольники) также имеют только прямые углы (90^о или 270^о). А это, в свою очередь, означает, что грани либо прямоугольники, либо фигуры, которые легко разбить на прямоугольники. У прямоугольника, как известно, противоположные стороны равны. Поэтому все размеры, данные на чертежах следующих задач, можно переносить с одного ребра на другое, если эти ребра параллельны и являются сторонами одного прямоугольника.

Вспомним также, что мы уже рассматривали похожий случай. Прямоугольный параллелепипед - это тело, все грани которого прямоугольники. Поэтому для решения следующих задач мы можем использовать свойства, теоремы и алгоритмы из 3-его раздела. (Если вы еще не занимались задачами на прямоугольный параллелепипед, лучше сначала обратитесь к ним, а затем снова вернетесь к этой странице.)

Задача 1

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

Отмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок DC₂ принадлежит одной из граней многогранника. Чертим эту грань, отмечаем на ней известные размеры (при необходимости переносим их с соседних параллельных рёбер: DD₂ = AA₂ = 2). В плоском прямоугольном треугольнике DD₂С₂ отрезок DC₂ является гипотенузой, квадрат которой равен сумме квадратов катетов.
DC₂² = DD₂² + D₂C₂² = 2² + 1² = 5.

Ответ: 5

На первый взгляд, следующая задача ничем не отличается от первой. Однако это не так. В условии изменилась лишь одна буква, на чертеже изменилась лишь одна точка - и у нас совсем другое решение! Поэтому напоминаю еще раз - не заучивайте точное решение конкретной задачи, старайтесь запомнить его алгоритм, методику, способы...

Задача 2

Найдите расстояние между вершинами A и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

Отмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок AC₂ соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. В этом случае у нас есть два варианта решения задачи:

Способ I.
Найти проекцию этого отрезка на одну из граней, которым принадлежит хотя бы одна отмеченная точка. Здесь удобно взять верхнюю грань A₂B₂C₂D₂ и построить плоский чертеж треугольника AA₂C₂.
Способ II.
Продолжить грань A₁B₂C₂D₁ вниз до пересечения с плоскостью основания, тем самым отрезав от многогранника прямоугольный параллелепипед, в котором искомый отрезок является диагональю. На чертеже он выделен зеленым цветом.
Мне нравится 2-й способ.

Все три размера прямоугольного параллелепипеда известны, следовательно квадрат его диагонали легко найти по "трехмерной теореме Пифагора":
AC₂² = 2² + 2² + 1² = 4 + 4 + 1 = 9.  AC₂ = 3.

Ответ: 3

Замечания:
1) Правило, которое я для краткости называю "трехмерной теоремой Пифагора", можно повторить в разделе, посвященном прямоугольному параллелепипеду. Три размера - высота, ширина и глубина.
2) Будьте внимательны с ответом. В предыдущем случае просили записать квадрат расстояния, а здесь - само расстояние.

Задача 3

Найдите растояние между вершинами D и C₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

Отмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок DC₂ соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. Более того, часть отрезка лежит вне многогранника. Но это не имеет никакого значения для решения задачи способом I - через проекции. Здесь удобно взять проекцию на плоскость основания и рассмотреть треугольник DHC₂.
Чтобы решить задачу способом II, продолжим грани, соседние с искомым отрезком, до пересечения, тем самым достроив недостающую часть параллелепипеда, в котором искомый отрезок является диагональю. На чертеже он выделен зеленым цветом.
Находим три размера выделенного прямоугольного параллелепипеда. Для этого используем грани-прямоугольники и переносим размеры с противолежащих параллельных рёбер:
Высота: EE₂ = FD₂ = 6; ширина: HE = FE - FH = FE - D₂C₂ = 6 - 3 = 3; глубина: B₂C₂ = A₂D₂ = 2.
Квадрат диагонали находим по "трехмерной теореме Пифагора":
DC₂² = 6² + 3² + 2² = 36 + 9 + 4 = 49.  DC₂ = 7.

Ответ: 7

Замечание: "Трехмерная теорема Пифагора" сформулирована в разделе, посвященном прямоугольному параллелепипеду.

Задача 4

Найдите тангенс угла C₂C₃B₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

Ставим на чертеже точки, упомянутые в условии задачи. Соединяем их. Отмечаем искомый угол.
ΔB₂C₂C₃, которому принадлежит этот угол, полностью расположен на одной из граней многогранника. Чертим эту грань, отмечаем на ней известные размеры (при необходимости переносим их с параллельных рёбер: B₂C₂ = B₁C₁ = BC = 3). В плоском прямоугольном треугольнике B₂C₂C₃ катет B₂C₂ - противолежащий и катет C₂C₃ - прилежащий для искомого угла C₂C₃B₂, следовательно по определению

tg ∠C₂C₃B₂ = B₂C₂/C₂C₃ = 3/1 = 3.

Ответ: 3

Задача 5

Найдите угол CAD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Решение

Ставим на чертеже точки, упомянутые в условии задачи. Соединяем их. Отмечаем искомый угол.
ΔAD₂C, которому принадлежит этот угол, почти полностью расположен внутри многогранника. Обычно задачи с участием наклонной секущей плоскости сложнее предыдущих, но здесь реализовался простой случай - сразу видно, что ΔAD₂C является равносторонним, ведь все его стороны являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников. Например, все катеты ΔAA₂D₂, ΔABC и ΔСDD₂ равны 7. (Убедитесь в этом самостоятельно. Последний треугольник удобно дополнительно начертить на плоскости.) Нам даже необязательно вычислять длины этих гипотенуз, достаточно факта их равенства, потому что в любом равностороннем треугольнике все углы равны 60^o.

Ответ: 60^o

Задача 6

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

А эта задача в том виде, в котором она помещена в банк заданий ФИПИ, мне категорически не нравится. Поэтому решения для неё я здесь не привожу. Кому интересно, можно перейти по ссылке прототип №245377 задачи ЕГЭ по математике и посмотреть недостатки формулировки задачи и её предполагаемое решение.

Другие темы этого задания ЕГЭ 2022 по математике:

Вернуться  к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математике.

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней.
E-mail: mathematichka@yandex.ru

Внимание,   © mathematichka.
Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.