Задачи на графики и диаграммы.
Задачи на анализ информации по графикам, диаграммам и таблицам будут представлены в 2022 году в вариантах ЕГЭ базового уровня под номерами 4 и 12, кроме того их аналоги встречаются в ОГЭ по математике за 9 класс. Задачи очень просты. Для их решения необходимо внимательно прочитать условие и, чаще всего, достаточно произвести визуальный анализ рисунка, реже может потребоваться линейка для построения прямых, и еще реже может потребоваться минимальный объём вычислений.
На мой взгляд, самая сложная задача на эту тему следующая.
Задача 1
На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н·м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 120 Н·м? Ответ дайте в километрах в час.
Решение
Горизонтальная линия, проведенная на уровне 120Н·м, пересекает график в двух точках: в точке с абсциссой n = 2000 об/мин, что соответствует v = 0,036·2000 = 72 (км/ч), и в точке с абсциссой n = 5000 об/мин, что соответствует v = 0,036·5000 = 180 (км/ч). В ответ записываем меньшее значение v = 0,036·2000 = 72 (км/ч).Ответ: 72.
Замечание: Обратите внимание на размерности величин. Несмотря на то, что в формулу подставляется число оборотов в минуту, результат вычисления получается в километрах в час. Дополнительных преобразований для ответа здесь делать не нужно, т.к. они уже учтены в значении коэффициента 0,036. Такой приём часто применяется в инженерных дисциплинах.
Относительная сложность предыдущей задачи состоит в том, что в решении ошибиться можно в четырёх местах: невнимательно проанализировать сам график, сделать ошибку в вычислении по формуле, запутаться в размерностях величин или сделать неверный выбор значения для ответа.
Остальные задачи еще проще. На мой взгляд, их решения даже не требуют комментариев.
Задача 2
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение
Ответ: −23.
Задача 3
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными температурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение
26 − 16 = 10.
Ответ: 10.
Задача 4
На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Россия?
Решение
Ответ: 6.
Задачи на табличные данные.
В прошлые годы на экзамене профильного уровня эти задачи шли в виде отдельного задания. В последнее время количество заданий профильного уровня уменьшено. Задачи на обработку табличных данных, как задание на отдельную тему, исключены из варианта профильного уровня и представлены только в базовом экзамене.
В демо-версии базового уровня, напротив, не одно задание может содержать таблицы и графики. В частности, посмотрите задания 11 и 12.
Большинство задач этого задания содержат таблицу непосредственно в тексте их условия. Для решения таких задач можно расширить таблицу, чтобы получить структурированную информацию в удобной для поиска ответа форме. Например:
Задача 5
Для поездки длительностью 70 минут требуется заказать такси в одной из трёх фирм. В таблице приведены тарифы этих фирм.
| Фирма такси | Подача машины | Продолжительность и стоимость минимальной поездки | Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки |
|---|---|---|---|
| А | 350 руб. | Нет | 13 руб. |
| Б | Бесплатно | 20 мин. — 300 руб. | 19 руб. |
| В | 180 руб. | 10 мин. — 150 руб. | 15 руб. |
Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Решение
Стоимость заказа складывается из следующих элементов:Стоимость подачи машины + Стоимость минимальной поездки + Стоимость 1 минуты, умноженная на Время всей поездки, из которого нужно вычесть Продолжительность минимальной поездки.
Для ответа нужно будет определить фирму, в которой стоимость заказа будет наименьшей. Все характеристики заказа для каждой из фирм помещены в строки таблицы, поэтому расширять её будем столбцами.
Добавим в таблицу два столбца - для записи промежуточных вычислений и для записи результата. Записывая выражение для вычислений, не забывайте следить за размерностями величин. Здесь стоимость в рублях, время в минутах.
| Фирма такси | Подача машины | Продолжительность и стоимость минимальной поездки | Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки | Вычисления | Итоговая стоимость заказа |
|---|---|---|---|---|---|
| А | 350 руб. | Нет | 13 руб. | 350 + 0 + 13×(70 − 0) | = 1260 руб. |
| Б | Бесплатно | 20 мин. — 300 руб. | 19 руб. | 0 + 300 + 19×(70 − 20) | = 1250 руб. |
| В | 180 руб. | 10 мин. — 150 руб. | 15 руб. | 180 + 150 + 15×(70 − 10) | = 1230 руб. |
Из последнего столбца выбираем наименьшее значение для ответа.
Ответ: 1230
Задача 6
В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.
| Салон | Цена телефона (руб.) | Первоначальный взнос (в % от цены) | Срок кредита (мес.) | Сумма ежемесячного платежа(руб.) |
|---|---|---|---|---|
| Эпсилон | 20000 | 15 | 12 | 1620 |
| Дельта | 21000 | 10 | 6 | 3400 |
| Омикрон | 19000 | 20 | 12 | 1560 |
Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты). В ответ запишите эту сумму в рублях.
Решение
Стоимость покупки складывается из первоначального взноса и ежемесячных платежей. Чтобы определить сумму первоначального взноса в рублях, цену телефона нужно умножить на первоначальный взнос в процентах, деленных на 100 (в сотых долях).
Добавим в таблицу два вспомогательных столбца - для вычислений и для итогового результата.
| Салон | Цена телефона (руб.) | Первоначальный взнос (в % от цены) | Срок кредита (мес.) | Сумма ежемесячного платежа(руб.) | Вычисления | Итоговая стоимость покупки (руб.) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Эпсилон | 20000 | 15 | 12 | 1620 | 20000×0,15 + 12×1620 | = 22440 |
| Дельта | 21000 | 10 | 6 | 3400 | 21000×0,10 + 6×3400 | = 22500 |
| Омикрон | 19000 | 20 | 12 | 1560 | 19000×0,20 + 12×1560 | = 22520 |
Из последнего столбца таблицы видно, что самой дешевой будет покупка в салоне "Эпсилон". Её стоимость составит 22440 рублей.
Ответ: 22440
В предыдущих задачах вам нужно было самостоятельно сообразить, как вычислить требуемую величину. Среди вариантов этого задания есть и такие, в которых способ вычисления уже предложен в виде готовой формулы в условии задачи. Кому-то это может показаться сложнее, но в самом деле такие задачи легче. Нужно только не запутаться в обозначениях.
Задача 7
Автомобильный журнал определяет рейтинг автомобилей на основе показателей безопасности S, комфорта C, функциональности F, качества Q и дизайна D. Рейтинг R вычисляется по формулеR = ____________________3S + 2C + 2F + 2Q + D50.
В таблице даны показатели трёх моделей автомобилей.
| Модель автомобиля | Безопасность | Комфорт | Функциональность | Качество | Дизайн |
|---|---|---|---|---|---|
| А | 3 | 5 | 2 | 5 | 2 |
| Б | 4 | 2 | 4 | 1 | 5 |
| В | 5 | 3 | 4 | 5 | 2 |
Найдите наивысший рейтинг автомобиля из представленных в таблице моделей.
Решение
Добавим к заголовкам таблицы условные обозначения параметров, чтобы не запутаться при подставновке их значений в формулу. Добавим два столбца к таблице - для записи действий и для результата вычислений.
| Модель автомобиля | Безопас- ность S | Комфорт C | Функциональ- ность F | Качество Q | Дизайн D | Вычисления по формуле (3S + 2C + 2F + 2Q + D)/50 | Рейтинг R |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| А | 3 | 5 | 2 | 5 | 2 | (3×3 + 2×5 + 2×2 + 2×5 + 2)/50 | 0,70 |
| Б | 4 | 2 | 4 | 1 | 5 | (3×4 + 2×2 + 2×4 + 2×1 + 5)/50 | 0,62 |
| В | 5 | 3 | 4 | 5 | 2 | (3×5 + 2×3 + 2×4 + 2×5 + 2)/50 | 0,82 |
Наивысший рейтинг имеет автомобиль марки В. Его значение 0,82.
Ответ: 0,82
В этом задании также есть много задач, в которых таблица отсутствует в условии, но вопрос снова связан с выбором одного из нескольких возможных вариантов.
В таком случае бывает удобно составить таблицу в процессе решения задачи.
Задача 8
Вася загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 30 Мб за 28 секунд. Петя загружает файл размером 28 Мб за 24 секунды, а Миша загружает файл размером 38 Мб за 32 секунды. Сколько секунд будет загружаться файл размером 665 Мб на компьютер с наибольшей скоростью загрузки?Скорость загрузки файла определяется делением его размера на время загрузки.
Чтобы определить наибольшую скорость, составим таблицу.
| Владелец компьютера | Размер файла (Мб), S | Время загрузки (с), t | Вычисление S/t | Скорость загрузки (Мб/с) |
|---|---|---|---|---|
| Вася | 30 | 28 | 30/28 = 1__ 114 | ≈ 1,0714 |
| Петя | 28 | 24 | 28/24 = 1_16 | ≈ 1,1667 |
| Миша | 38 | 32 | 38/32 = 1__ 316 | = 1,1875 |
Как видно из последнего столбца, наибольшая скорость загрузки на Мишином компьютере. Она составляет 1,1875 Мегабайта в секунду. Поэтому файл размером 665 Мб на этом компьютере загрузится за 665/1,1875 = 560 секунд.
Ответ: 560
Задача 9
Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Одновременно из пункта A в пункт D выехали грузовик, автобус и легковой автомобиль. Грузовик едет через пункт B со средней скоростью 35 км/ч, автобус едет через пункт C со средней скоростью 30 км/ч. По третьей дороге — без промежуточных пунктов — едет легковой автомобиль со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам.Какое транспортное средство доберётся до D позже других? В ответе укажите, сколько часов оно будет находиться в пути.
Решение
| Транспортное средство | Дорога | Расстояние S, (км) | Средняя скорость v, (км/ч) | Время в пути t = S/v, (ч) |
|---|---|---|---|---|
| Грузовик | через пункт B | 28 + 42 = 70 | 35 | 70/35 = 2 |
| Автобус | через пункт C | 45 + 30 = 75 | 30 | 75/30 = 2,5 |
| Легковой автомобиль | без промежуточных пунктов | 60 | 40 | 60/40 = 1,5 |
Позже всех в D прибудет автобус. Он будет находиться в пути 2,5 часа.
Ответ: 2,5
Встречаются задачи, в которых параметры вариантов для выбора несходственные, и таблицу невозможно составить. В этом случае, просто определяем ответ для каждого варианта своим способом. Пример такой задачи ниже.
Задача 10
Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?Решение
Поездка на поезде:
на покупку 3-ёх билетов потребуется 660×3 = 1980 рублей.
Поездка на машине:
расход бензина составит 8×700/100 = 56 литров;
затраты на бензин 19,5×56 = 1092 рубля.
Ответ: 1092
Задача 11
В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает сертификат на 1000 рублей, который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9500 руб., рубашку ценой 800 руб. и галстук ценой 600 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего:1) И. купит все три товара сразу.
2) И. купит сначала пиджак и рубашку, галстук получит за сертификат.
3) И. купит сначала пиджак и галстук, получит рубашку за сертификат.
В ответ запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.
Решение
Определим сначала стоимость покупки (руб.) без учета сертификата.| Вариант | Пиджак | Рубашка | Галстук | Сумма |
|---|---|---|---|---|
| 1) | 9500 | 800 | 600 | 10900 |
| 2) | 9500 | 800 | — | 10300 |
| 3) | 9500 | — | 600 | 10100 |
Все суммы превышают 10000 рублей. Таким образом, И. имеет право на сертификат в любом случае.
Стоимость как рубашки, так и галстука меньше 1000 рублей. И. может использовать сертификат в любом из этих двух вариантов.
Поэтому просто выбираем строку с наименьшей суммой.
Ответ: 10100
Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математке.