Задача с многогранником
(прототип 245377).

Рассмотрим подробнее следующее задание.

Ниже приведены три рисунка к трем вариантам этого задания:

Скажите, пожалуйста, на каком из этих рисунков вам очевидно положение плоскости A₁A₂D₂D₁? Она расположена выше или ниже плоскости B₂B₁C₁C₂? На каком рисунке выше, на каком ниже, на каком обе плоскости находятся на одинаковой высоте?
Где указана высота этой плоскости по отношению к плоскости основания или по отношению к самой верхней грани многоугольника? Или каким образом её можно вычислить по другим данным? Из чего следует, что эта плоскость находится на той же высоте, что и плоскость B₂B₁C₁C₂, как это предполагает большинство решений этой задачи, размещенных в сети?
Этого не сказано в условии задачи, это не следует из свойств и формы данного многогранника. И даже, если это кажется "видным на глаз" для среднего рисунка, то не так уж и очевидно для двух крайних. А главное, в математике судить "на глаз" нельзя!, всё должно быть доказано. Это принципиальный момент. Недаром ведь изучение геометрии в школе мы начинали с понятий аксиома и теорема.

Итак, положение плоскости A₁A₂D₂D₁ в задаче не определено, а с ней и положение точки D₂. Переносить длину ребра СС₁ на ребра AA₁ и DD₁ нельзя, потому что у вас нет никаких доказательств, что AA₁B₁B и СС₁D₁D- прямоугольники! Таким образом, задача не имеет единственного решения. И остается только удивляться той уверенности, с которой штампуют готовые решения "доброжелатели" в Интернете. Ведь составители могут заметить погрешность в своей работе и устранить её в процессе формирования экзаменационных вариантов. А сделать это можно по-разному. Рассмотрим следующие варианты на примере среднего рисунка:

Задача 1.

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

Здесь задача доопределена указанием размера на одном из левых нижних вертикальных рёбер AA₁ = 1. Так как СС₁ тоже равно 1, то грани A₁A₂D₂D₁ и B₂B₁C₁C₂ находятся на одной высоте, а значит и в одной плоскости. Таким образом, решать задачу можно, как через проекции, так и построением прямоугольного параллелепипеда. Выбираем второй способ. Определим размеры построенного (зеленого) параллелепипеда. Высота СC₁ = 1, глубина BC = 3, ширина С₁D₂ = C₁C₂ + C₂D₂ = C₁C₂ + C₃D₃ = 1 + 1 = 2.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда определяем как сумму квадратов его линейных размеров:
BD₂²= 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14.

Ответ:14.

Задача 2.

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение.

Здесь задача доопределена указанием размера на одном из левых верхних вертикальных рёбер A₂A₃ = 1,1. При этом не трудно вычислить длину нижних ребер, так как общая высота многогранника составляет СС₁ + С₂С₃ = 1 + 1 = 2. Тогда длина ребра AA₁ = 2 - A₂A₃ = 2 - 1,1 = 0,9. Однако в этом случае грани A₁A₂D₂D₁ и B₂B₁C₁C₂ находятся на разной высоте и мы не можем построить прямоугольный параллелепипед аналогичный предыдущей задаче. (Конечно, можно построить другой прямоугольный параллелепипед с диагональю BD₂, но он не сэкономит нам вычислений.) Поэтому решать будем через проекции.

Для этого из точки D₂ опускаем перпендикуляр на плоскость основания. Его длина D₂F равна длине ребра AA₁, т.е. 0,9. Соединяем точки F и B. Строим чертежи на плоскости для облегчения дальнейших вычислений.
Так как FC = D₃C₃ + C₂C₁ = 1 + 1 = 2, то из ΔFBC определяем:
FB² = FC² + BC² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
Из ΔFD₂B определяем:
BD₂² = FD₂² + FB² = 0,9² + 13 = 0,81 + 13 = 13,81.

Ответ:13,81

Замечание: Здесь нельзя переносить длину ребра CC₁ на линию D₂F, потому что CC₁D₂F - не прямоугольник!

Рисунки многогранника, как в условии, так и в решении второй задачи выполнены с сохранением масштаба. Однако, если бы не было сиреневой цифры, то трудно было бы заметить, что левая верхняя грань ниже правой. Посмотрите, как мало мы промахиваемся мимо точек A₂ и D₂ при попытке построить прямоугольники AA₁B₁B и СС₁D₁D. Но ведь промахиваемся! И ответ другой!

Внимательными и осторожными необходимо быть не только вам, ученикам, но и составителям заданий. Им тоже трудно, потому что нужно сделать много однообразных задач, а от однообразия внимание притупляется. Если вы сомневаетесь в корректности какой-то задачи, можно обратиться к дежурному преподавателю. И никогда не старайтесь запомнить готовое решение, если нашли его в интернете. Берите и у меня, и на других сайтах методику, порядок действий, алгоритм решения, но не само решение. Удачи!

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.