- Задача 19 базового уровня ЕГЭ по математике.
- Признаки делимости натуральных чисел
- Задачи для самопроверки.
Для начала рассмотрим пример - решение задачи 19 (по теме натуральные числа) - КИМ реального ЕГЭ прошлых лет, досрочный период, базовый уровень. (Теория к ней - признаки делимости - ниже.)
Задача 19
Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.Решение.
Раскладываем делитель - число 12 на простые множители. 12 = 3×4=3×2×2.Следовательно, заданное число после вычеркивания чисел должно делиться на 3 и 4 или на 2, еще раз на 2 и, наконец, на 3.
На 2 делятся чётные числа, поэтому 1 в конце вычеркиваем сразу. Останется 18161512.
Но нам нужно, чтобы оно делилось на 2 дважды, т.е. делилось на 4.
Признак делимости на 4 утверждает, что для этого на 4 должно делиться двузначное число, образованное последними двумя цифрами. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры числа 18161512 вычеркивать нельзя. Они гарантируют делимость числа на 4 (на обе двойки).
Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы на 3 делилась сумма его цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3×8 + 1 - можно вычеркнуть одну из единиц, но по условию задачи нужно вычеркнуть еще две цифры;
25 = 3×7 + 4 - нет двух цифр для вычеркивания, сумма которых равнялась бы 4, т.к. последние цифры 1 и 2 трогать нельзя;
25 = 3×6 + 7 - сумма двух вычеркнутых цифр будет равна 7, если вычеркнуть 6-ку и любую из единиц, кроме последней.
Итак, возможные ответы: 811512 или 181512. Выбираем один из них, например
Ответ:181512
Замечание: на реальном ЕГЭ сделайте проверку своего ответа делением в столбик.У кого-то могут возникнуть вопросы, что такое простые множители и как раскладывать на простые множители?
Простые множители нельзя дальше разделить. Простые числа делятся только на себя и на 1, например, 13:1 = 13 или 13:13 = 1 и всё. А раскладывать лучше постепенно.
Например 60 = 6×10, 6 = 2×3 и 10 = 2×5, значит 60 = 2×3×2×5.
Для решения подобных задач нужно знать теоремы - признаки делимости натуральных чисел. Чем больше вы знаете признаков, тем быстрее решите задачу. Повторите основные из них.
Признаки делимости натуральных чисел
С тех пор, как человечество изобрело обыкновенные и десятичные дроби, мы можем применять операцию деления к любым величинам. Однако, понятие делимость чисел обычно рассматривают на множестве натуральных чисел. Когда мы говорим "число делится", то подразумеваем, что деление происходит без остатка и результатом деления также является натуральное число.Признак делимости на 2.
На 2 делятся все чётные числа. Мы потому и называем их чётными.Признак делимости на 3.
Например, 4539861 делится на 3, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 3.
Например, 394762 не делится на 3, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 3.
Можете проверить с помощью любимого калькулятора
4539861:3=1513287
394762:3=131587,33333333333333333333333333
Если сумма цифр получилась многозначным числом, её делимость можно проверить этим же признаком.
Например, 165394786171277984079 делится на 3, т.к. 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9=111. 111 делится на 3, т.к. 1+1+1=3. Число 3 делится на 3.
165394786171277984079:3 = 55131595390425994693
Признак делимости на 4.
Что касается проверки делимости на 4 двузначного числа, то используем тот факт, что 4 = 2×2, т.е. разделить на 4 - то же самое, что два раза подряд разделить на 2. Поэтому, во-первых, двузначное число должно быть четным, а, во-вторых, его легко разделить на 2 и посмотреть является ли результат также четным числом. Например,
5773211789020783 не делится на 4, т.к. 83 не делится на 2.
4920904953478666 не делится на 4, т.к. 66:2 = 33 - нечётное число.
5897592348940996 делится на 4, т.к. 96:2 = 48 - чётное число.
Доказательство работоспособности этого признака основано на делимости 100 на 4 и теореме о делимости суммы, которая приведена ниже. Здесь рассмотрим объяснение на примере из приведенной задачи ЕГЭ.
18161512 = 18161500 + 12 = 181615×100 + 12 = 181615×25×4 + 3×4 = (181615×25+3)×4.
В скобках получится натуральное число, значит исходное число можно разделить на 4 без остатка.
Признак делимости на 5.
Признак делимости на 6 обычно не формулируется как теорема. Так как 6=2×3, то используются последовательно признаки делимости на 2 и на 3. Таким образом, на 6 делятся чётные числа, сумма цифр которых делится на 3.
629 - не делится на 6, нечётное.
692 - не делится на 6, чётное, но 6+9+2=17 не делится на 3.
792 - делится на 6, чётное и 7+9+2=18 делится на 3.
Признак делимости на 8 также не формулируется как теорема.
Так как
8 = 2×4 и 1000 = 250×4, поэтому для чисел больше 1000 по аналогии с признаком делимости на 4 проверяется делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами, а для чисел меньше 1000 (трёхзначных) используются последовательно непосредственное деление на 2 и проверка полученного результата по признаку деления на 4. Например,
58989081099472 - делится на 8, так как 472:2 = 236, а 36 делится на 4.
Признак делимости на 9.
Например, 4539861 делится на 9, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 9.
Например, 394762 не делится на 9, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 9.
4539861:9=504429
394762:9=43862,444444444444444444444444444
Признак делимости на 10.
Этот признак легко распространить на любые степени десятки. Число делится на 100, когда две его последние цифры являются нулями, на 1000, когда в конце три нуля и т.д.
Признак делимости на 11.
Иными словами, складываем все цифры на нечётных местах и складываем все цифры на чётных местах, затем вычитаем одну сумму из другой. Результат должен быть равен 0 или делиться на 11.
4 9 0 4 4 6 8 8
4+0+4+8 = 16
9+4+6+8 = 27
27 − 16 = 11, следовательно заданное число будет делиться на 11.
Замечание: Чтобы не перепутать порядок чисел при вычислении сумм, можно сразу расставить знаки внутри самого числа, чередуя их. Но тогда аккуратнее с вычислением. 4-9+0-4+4-6+8-8= −11 делится на 11.
Легко запоминающихся признаков делимости на простые числа типа 7, 13, 17, 19 ..., к сожалению, нет. Организаторы ГИА это знают и задач, ориентированных на применение исключительно таких методов решения не включат. Задания будут содержать такие формулировки, которые позволяют в условиях экзамена проверить делимость на числа с "незапоминающимися признаками" прямым делением в столбик в совокупности с применением других признаков, анализа остатков и прочих соображений.
Хотя за долгую историю развития техники устного счёта математики, конечно, выявили и сформулировали некоторые общие особенности делимости натуральных чисел на простые делители. Интересующиеся могут обратиться к википедии и выбрать для себя приемлемый вариант.
859 − 2×6 = 859 − 12 = 847;
Итак, 8596 делится на 7, если на 7 делится 847. Но о 847 сразу этого не скажешь, поэтому применим признак повторно.
84 7
84 − 2×7 = 84 − 14 = 70.
Теперь очевидно, что 70 делится на 7, следовательно, 847 делится на 7, следовательно 8596 делится на 7.
А в заучивании признаков делимости на составные числа нет необходимости. Составные числа можно разложить на простые множители.
Теоремы о делимости произведения и суммы натуральных чисел.
Например, произведение 475×1230×800 делится на 3, так как второй сомножитель удовлетворяет признаку деления на 3 - сумма его цифр 1+2+3+0=6 делится на 3.
Например, сумма 475 + 1230 + 800 делится на 5, так как каждое сгагаемое удовлетворяет признаку деления на 5.
Обратное утверждение о делимости суммы не верно. Если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то для суммы возможны оба варианта, как делится, так и не делится.
43 не делится на 5, 17 не делится на 5, 43 + 17 = 60 делится на 5.
Обратное утверждение о делимости произведения можно сформулировать только после разложения делителя на простые сомножители. Собственно этому действию и была посвящена задача, которая помещена в начале раздела.
Если вы дружите с алгеброй и умеете выносить общий множитель за скобки и сокращать обыкновенные дроби, то теорему о делимости суммы можно запомнить как наличие общего сомножителя, а теорему о делимости произведения, как возможность сократить обыкновенную дробь.
Пользуясь теоремой о делимости суммы, можно "съэкономить" на вычислениях, например, при проверке признаков делимости на 3 и на 9. При сложении цифр больших чисел можно из суммы выбросить все цифры заведомо делящиеся, соответственно, на 3 или 9.
Вернемся к последнему примеру из пункта "признак деления на 3".
Для числа 165394786171277984079 вместо 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9 вычисляем 1+5+4+7+8+1+7+1+2+7+7+8+4+0+7= 69. Результат тот же - делится на 3.
И последнее:
Математики не любят много писать. Длинные предложения и повторы одних и тех же слов хороши при объяснении решения, но при его записи желательно пользоваться условными обозначениями. Для термина "делится" можно использовать символ ⋮ вертикальное многоточие.
48⋮6 означает, что 48 делится на 6, или что число 48 кратно числу 6.
Задачи для самопроверки.
Здесь приведены задачи с решениями, которые временно скрыты, чтобы вы могли сначала самостоятельно подумать над ними, а затем нажать кнопку для сравнения своего и моего решений. Аналогичные задачи с проверкой вашего ответа можно найти в Открытом банке заданий Федеральнного института педагогических измерений.
Задача 1
Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.
Задача 2
Приведите пример трёхзначного числа кратного 15, произведение цифр которого равно 30. В ответе укажите ровно одно такое число.Задача 3
Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2277. Приведите ровно один пример такого числа.
Представим себе, что мы выполняем это вычитание в столбик.
