Математика ЕГЭ 2024.
Профильный уровень. Задачи с кратким ответом.

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Задача 11

Задача 12

Выпускник средней школы должен уметь моделировать реальные ситуации на языке геометрии, строить и исследовать модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (длин, углов, площадей). Контролю этих умений посвящено задание по планиметрии..

Напомню, планиметрией называют часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. Планиметрия - часть курса геометрии в средней школе. Другая её часть, в которой рассматриваются пространственные фигуры, называется стереометрией. В части заданий с кратким ответом ей посвящено следующее задание.

Для решения планиметрических задач, безусловно, нужно повторить

• определения и свойства геометрических фигур, которые вы изучали в школе, а также
• основные формулы из курса планиметрии.

В частности, чтобы успешно справиться с этим заданием повторите всё, что вы изучали относительно следующих плоских фигур

1. Треугольник
2. Четырёхугольники, в частности, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
3. Многоугольники, в частности, правильные многоугольники.
4. Окружность и круг, в том числе, вписанные и описанные окружности многоугольника.
5. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора.

Быстро проверить свои знания по этим темам, Вы можете с помощью тестов.

В процессе подготовки к решению этого задания на экзамене можно воспользоваться следующими разделами сайта "Математичка.ру":
1. Формулы для площадей плоских фигур.
2. Окружность. Основные понятия.
3. Углы и отрезки в окружности.
4. Примеры решения задач с окружностью.
5. Правильные многоугольники.

Решения большинства задач приведенных разделов временно скрыты. Они загружаются на страницу позже, после того, как вы нажмете соответствующие кнопки-ссылки. Однако будьте внимательны, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Выделенной в отдельное задание эта тема стала только в этом году. Ранее задачи на вектора могли попасть отдельным школьникам как составляющая часть или метод решения других задач по геометрии. Поэтому на нашем сайте пока присутствуют лишь простейшие примеры. Но надо же с чего-то начинать подготовку!

Посмотрите следующие страницы:

Задачи на понятие координатной плоскости.

Задачи на вектора.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы.

В заданиях первой части действительно преимущественно рассматриваются простейшие пространственные тела, если параллелепипед, то прямоугольный, если пирамида, то правильная. В этих случаях задача легко сводится к планиметрии.

Рекомендую рассмотреть несколько задач из федерального банка заданий, сгруппировав их по типам тел. Одновременно повторите свойства этих тел.

1. Конус.
2. Цилиндр.
3. Прямоугольный параллелепипед
4. Правильная призма.
5. Правильная пирамида.
6. Многогранник.
7. Шар и сфера.
8. Вписанные и описанные тела вращения.

Решения большинства задач этого задания временно скрыты. Они загружаются на страницу позже, после того, как вы нажмете соответствующие кнопки-ссылки. Однако будьте внимательны, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
В данном случае речь идет о моделировании случайных явлений. Конкретно об использовании элементов теории вероятностей при решении прикладных задач.

Для решения большинства задач этого задания достаточно повторить классическое определение вероятности события: вероятностью события А называется дробь P(A) = m/n, в числителе которой стоит число m элементарных событий, благоприятствующих событию А, а в знаменателе n - число всех элементарных событий.

Вспомним, что элементарными называются события, которые попарно несовместимы и равновозможны. В других учебниках они же называются исходами испытания.

Таким образом, с точки зрения математических операций эта задача решается в одно действие, она предельно проста. И в то же время достаточно трудна, потому что требует очень внимательно разобрать "бытовую" ситуацию, заданную в условии, чтобы

• выявить элементарные события,
• выделить благоприятствующие,
• не пропустить ни одного из всех возможных исходов
• и не включить ни одного лишнего.

Научиться этому можно только в процессе решения задач, постепенно переходя от совсем простых к более сложным. Попробуйте решить несколько задач в таком порядке:

1. Задачи только на определение вероятности
2. Задачи с использованием элементов комбинаторики
3. Решение задач с применением таблиц

Если вы испытываете трудности при подсчёте числа элементарных событий (возможных исходов, вариантов развития и т.п.), повторите раздел математики, называемый комбинаторикой. Для этого можно пройти по ссылкам

Формулы комбинаторики и простейшие задачи на подсчёт вариантов.

Также под этим номером могут встретиться задачи, которые хорошо решаются

применением правил сложения и умножения вероятностей

в их простейших формулировках: определение вероятности суммы несовместимых и произведения независимых событий. Задачи, связанные с применением этих правил в более сложных ситуациях, отнесены к разряду заданий повышенной сложности и располагаются в демонстрационном варианте 2024 года под следующим номером.

Это задание проверяет умение использовать методы теории вероятностей и статистики при решении прикладных задач.

Для успешного выполнения задания необходимо освоить правила вычисления вероятностей независимых событий, применение формулы сложения вероятностей; уметь применять диаграммы Эйлера, строить дерево вероятностей, знать формулу Бернулли.

Также могут встретиться обратные задачи, в которых обсуждаемое событие уже произошло, и мы об этом знаем, а требуется определить вероятность некого связанного с ним другого события. Для случаев, когда взаимосвязанных событий, упоминаемых в условии задачи немного, их можно решить с использованием прямых теорем и введения неизвестной величины.

Для подготовки к этому заданию ЕГЭ порешайте
1. Задачи на правила сложения и умножения вероятностей
И посмотрите, нет ли у вас аналогичных ошибок:
2. Типичные ошибки при решении задач на классическое определение вероятности.
3. Ошибки, которые могут возникать при решении задач на применение правил сложения и умножения вероятностей.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен:
- Уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

Рассматриваемое задание посвящено решению простых уравнений. Т.е. уравнений с одной переменной, как правило, обозначенной символом х, для решения которых не требуется значительных алгебраических преобразований.

1. Решение уравнений.

В этом задании требуется уметь выполнять вычисления и преобразования. Набор задач на эту тему в банке заданий ЕГЭ очень широк и разнообразен: от сугубо арифметических операций до степеней с рациональными показателями и логарифмов. Очень существенным подспорьем при решении большинства этих задач будет знание формул сокращенного умножения. Не помешает также повторить формулы тригонометрии, свойства степеней и логарифмов, определение модуля (абсолютной величины) числа.

Образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен уметь выполнять действия с функциями:
- определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
- описывать по графику поведение и свойства функций;
- находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
- строить графики изученных функций.

Большую роль в исследовании функции играет её производная.

Представленное задание проверяет насколько выпускник знаком с понятием производной функции, геометрическим и физический смыслом производной.

Потренировать решение подобных задач можно на следующих страницах сайта "Математичка ру":

1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
2. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
3. Задачи на геометрический смысл производной.
4. Задачи на физический смысл производной.

Решения большинства задач на этих страницах временно скрыты. Они загружаются позже, после того, как вы нажмете соответствующие кнопки-ссылки. Кроме того, многие из задач, а также некоторые решения содержат рисунки. Дождитесь окончания загрузки страницы.

Это задание проверяет Ваше умение решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера. В целом, алгоритм её решения несложен - нужно аккуратно подставить заданные числа в формулу, привести подобные члены, если они есть, затем решить уравнение, в котором в качестве неизвестной величины выступает искомый параметр. Ошибки могут быть связаны, в первую очередь, с невнимательным чтением условия задачи, а также со "сложностью" решения уравнений и неравенств в непривычных для математики обозначениях переменных и неизвестной величины.

Для получения правильных ответов также необходимо потренировать преобразование выражений, включающих арифметические операции. К сожалению, в задачах этого типа арифметические ошибки встречаются не реже, чем логические.

Задание является текстовой задачей на применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Проще говоря, на применение математики в различных жизненных ситуациях.

Сложность ситуаций заключается чаще всего в том, что конечные (наблюдаемые) результаты какого-либо процесса известны лучше, чем начальные условия. В таких случаях обычно используют обозначение неизвестных начальных величин символами и сводят задачу к решению алгебраических уравнений или систем уравнений.

Итак, образовательный стандарт подразумевает, что выпускник средней школы должен уметь:
- Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.

При подготовке к экзамену нужно повторить следующие темы:

• Равносильность уравнений, систем уравнений.
• Методы решения рациональных уравнений.
• Методы решения систем уравнений.
• Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Набор задач для этого задания на официальном сайте ФИПИ очень разнообразен. Есть задачи на движение, на течение реки, на проценты, на среднюю скорость, на растворы и сплавы, на производительность труда и "производительность трубы"... Но мне не хотелось бы классифицировать их таким образом. Это делалось в младших и средних классах, когда у вас было меньше жизненного опыта и совсем не было представлений о том, как формализовать ситуацию, описанную в условии задачи. Теперь вы стали старше, некоторые навыки у вас уже отложились глубоко в подсознании, поэтому не надо пытаться вспомнить дословно и добуквенно, например, методы решения задач на движение, надо стремиться составить решаемое уравнение или систему, опираясь на всё то, что вы знаете о движении из физики, математики, своего опыта...

Классифицировать по методам решения тоже бесполезно. Такие задачи решаются самыми разнообразными способами. Всё, что можно решить системой, можно решить и одним уравнением. Всё, что можно решить уравнением, можно решить и без него. Всё, что можно решить коротко, можно решить длинно, и наоборот.

Итак, просто группирую задачи по "похожести" либо условий, либо решений.

1. Задачи с участием водного транспорта.
2. Задачи на проценты с уравнениями и без них.
3. Задачи на системы линейных уравнений.
4. Задачи на объезд, обгон и встречное движение.
5. Задачи на среднюю скорость.
6. Задачи на производительность.

Внимание: ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне - сначала ответ, потом решение. В некоторых случаях набор формул выполнен в формате рисунка. Дождитесь полной загрузки таких решений.

Как уже упоминалось (см. задание на производную), выпускник должен уметь выполнять действия с функциями, а именно определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций.

Задание в представленной в демонстрационном варианте формулировке проверяет умение ученика оперировать графическим и аналитическим способами задания функции. А именно переходить от одного, в данном примере, графического представления, к другому – аналитическому.

На этом сайте широко представлена тема "Графики функций". Перейти к различным её разделам можно через ссылки в таблице элементарных функций

Функции и графики.

Также на сайте находятся интерактивные тренажёры для быстрого освоения этого задания. Демонстрационное видео и ссылки расположены на странице

Задание на графики функций

Если вы уже решали задачи на геометрический смысл производной функции, то убедились, что производная характеризует вид (возрастание или убывание) и скорость изменения функции.
Поэтому производная широко используется для определения таких характеристик функции, как её экстремумы.
Вспомним, что термин "экстремум" объединяет понятия максимум и минимум функции. (Прислушайтесь к словам диктора, когда он читает прогноз погоды. Если речь идет об экстремальных температурах зимой, мы понимаем, что будет сильный мороз. Но если это происходит летом, то ждем очень жарких дней.)

Теме нахождения экстремумов и посвящена задача 11 ЕГЭ 2024 по математике профильного уровня. Технически все варианты этой задачи решаются одинаково:
- нужно найти производную функции,
- затем критические точки производной, т.е. те значения аргумента, при которых производная равна 0 или не существует,
- и, наконец, определить знаки производной в окрестности критических точек, чтобы убедиться в том, что экстремумы существуют и определить их вид.

Как реализуется этот алгоритм, можно посмотреть, например, здесь.

Не забудьте повторить основные формулы для производных и первообразных элементарных функций, а также ознакомиться с характерными ошибками, которые бывают при вычислении производной и способами борьбы с ними.

Однако на экзамене будьте очень внимательны к формулировке вопроса задания. Есть существенные различия в понятиях - точка экстремума, значение экстремума и наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке.

Перейти к решению задач:

1. Задачи на нахождение точек экстремума функции.
   
2. Задачи на нахождение экстремумов функции.
   
3. Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.
   

Ознакомьтесь с Демонстрационным вариантом ЕГЭ 2024 по математике, который здесь представлен с комментариями и ссылками на материалы для подготовки.
Внимание: решения заданий этой части демонстрационного варианта расположены в другом разделе сайта, ссылка есть в нижней части страницы. Это сделано для того, чтобы вы могли сначала попытаться решить задачи самостоятельно и оценить свои силы, а затем смотреть мои решения.

Задания профильного уровня, как и ранее, разделены на две части.
Первая часть содержит 12 заданий (задания 1–12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Эти задания проверяют освоение учащимися общематематических умений, необходимых человеку в современном обществе, т.е. по уровню сложности они не сильно отличаются от базового варианта ЕГЭ.
Всего демонстрационный вариант 2024 года содержит 19 заданий. Задания второй части (13–19) с развёрнутым ответом, которые содержат задания повышенного и высокого уровней сложности, предназначены для конкурсного отбора выпускников, планирующих продолжение образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к уровню математической подготовки абитуриентов.

Здесь вы можете ознакомиться с первой частью варианта и поработать над заданиями профильного уровня с кратким ответом. Вторая часть варианта – задания профильного уровня с развёрнутым ответом – представлена в разделе Профильный уровень. Задачи с развёрнутым ответом.

В демонстрационном варианте представлено по несколько примеров заданий на некоторые позиции экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено только одно задание.
Перейдите к заданию по кнопке с его номером и ознакомьтесь с примерами этого задания из Демонстрационного варианта ЕГЭ. Прочтите какого типа это задание, каким темам оно посвящено и что нужно повторить. Не забывайте, что задания демонстрационного варианта не отражают всех возможных вопросов содержания экзаменационного варианта.
Чтобы посмотреть примеры аналогичных задач, которые давались на экзаменах прошлых лет и могут быть включены в экзаменационные материалы в 2024 году, найдите нужный раздел в оглавлении тематики задач и перейдите по ссылке. Во всех разделах задачи снабжены ответами и решениями. Однако у большинства задач решение временно скрыто и загружается отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на жёлтом фоне. Не нужно спешить смотреть готовое решение! Для более эффективной подготовки сначала постарайтесь решить задачу самостоятельно, и только потом можно нажать зеленую кнопку, чтобы сравнить ответ, и жёлтую, чтобы раскрыть моё решение. Если ваше решение не совпадает с моим, оно не обязательно является неправильным. Ход рассуждений может быть различным, главное, чтобы он приводил к верному ответу. Не забывайте – в первых 12 заданиях ЕГЭ 2024 проверяются только ответы.

Чтобы ознакомиться с содержанием экзамена базового уровня, перейдите на страницу с интерактивной Демоверсией базового уровня.

Сдадим ЕГЭ по математике? Легко!

перейти к решению задач с развёрнутым ответом.