Математика ЕГЭ 2025.
Профильный уровень. Задачи с развёрнутым ответом.

Задание 13

В демонстрационном варианте представлен пример тригонометрического уравнения. Но уравнение может быть любым. Необязательно тригонометрическим, хотя действительно чаще всего бывает таковым. Однако, не стоит зацикливаться на повторении методов решения только этого вида уравнений, чтобы ваш реальный экзаменационный вариант не оказался с "сюрпризом".

В соответствии с документами, регламентирующими содержание контрольных измерительных материалов для составления вариантов ЕГЭ по математике, выпускник должен уметь решать квадратные, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и системы уравнений с двумя неизвестными,
а также знать основные приёмы решения уравнений (разложение на множители, введение новых переменных, ...) и систем уравнений (подстановка, алгебраическое сложение, ...) и уметь использовать свойства и графики функций при решении уравнений.

К уравнениям, представленным во второй части экзаменационного варианта, всё это относится в полной мере.

Квадратные уравнения
Отдельное квадратное уравнение в этом задании встретиться не может. По уровню трудности оно относится к первой части - заданиям с кратким ответом. Однако очень часто его приходится решать в качестве промежуточного этапа для других типов уравнений. Поэтому очень важно не просто уметь решать квадратные уравнения, а уметь решать их быстро, качественно и разнообразно. Посмотрите примеры такого подхода к квадратным уравнениям.

1. 4,5 способа решения одного квадратного уравнения.
2. Квадратное уравнение. Быстро и без ошибок.

Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения

Тригонометрические уравнения
Эти уравнения самые востребованные в задании № 13 и самые разнообразные (потому и востребованные). Им будет посвящено несколько страниц сайта. Пока стоит повторить основные определения и формулы. Привыкнуть пользоваться тригонометрическим кругом и графиками функций.

1. Формулы тригонометрии.
2. Использование тригонометрического круга.
3. Функции и графики

Показательные уравнения
Логарифмические уравнения
Системы уравнений с двумя неизвестными

Задание 14

Для многих это задание по стереометрии представляется довольно сложным (хотя реально таковым не является), поскольку включает в себя этапы построения, доказательства и вычисления. Переходить к заданиям по стереометрии такого уровня сложности имеет смысл после того, как освоили более простые постановки задач, в частности, уверенно решаете задания по стереометрии с кратким ответом. Изучите ссылки на вкладке, посвященной этому заданию, на странице с анализом задач с кратким ответом. Это позволит быстро повторить теорию для простых случаев - правильных многогранников и тел вращения. Обязательно вернитесь к первым параграфам учебников по стереометрии, чтобы повторить основные аксиомы и теоремы о точках, прямых и плоскостях в пространстве. И только потом приступайте к подготовке к этому заданию.

Готовиться к решению этого задания лучше всего на примерах, разбирая которые, не забывайте обращаться к теории.

Перейти к просмотру примеров:

1. Реальное задание ЕГЭ: разбор на этом сайте.
2. Оно же на YouTube канале Mathematichka.
3. Задачи на построение сечений многогранников

Задание 15

В Демонстрационном варианте представлено логарифмическое неравенство. Как и в случае уравнения (задание 13), в реальном варианте неравенство не обязано быть логарифмическим. В соответствии с документами, регламентирующими КИМ, выпускники должны уметь решать

• Квадратные неравенства
• Рациональные неравенства
• Показательные неравенства
• Логарифмические неравенства
• Системы линейных неравенств
• Системы неравенств с одной переменной

А также уметь анализировать равносильность неравенств, применять метод интервалов, использовать свойства и графики функций при решении неравенств.

Логарифмические неравенства чаще других встречаются в ЕГЭ по математике профильного уровня потому, что логарифм имеет ограниченную область определения, и это ограничение также задаётся неравенством. Таким образом, при решении такого задания мы быстро переходим к системе и/или совокупности неравенств, что позволяет создателям варианта на одной задаче проверить два пункта КИМ. Однако, если вам попадётся другое неравенство, не говорите, что не предупреждали, и не теряйтесь. В частности, таким же свойством обладает область определения квадратного корня. И легко составить иррациональное неравенство, которое в решении будет сводиться к системе, содержащей линейное и квадратное неравенства, что вполне удовлетворяет КИМ и требованиям к соблюдению одинакового уровня сложности вариантов.

Поэтому перейдите к следующим примерам и внимательно изучите все детали этой темы:

1. Решение неравенств. Общие соображения.
2. Решение неравенств методом интервалов.
3. Иррациональные неравенства: классическое решение.
4. Иррациональные неравенства: решение уравнением, решение рационализацией.
5. Основные положения и методы решения показательных неравенств.
6. Примеры решения показательных неравенств из банка заданий ЕГЭ
7. Методы решения логарифмических неравенств.

Задание 16

Так называемая "экономическая задача". Хотя на этапе окончания средней школы никто не требует от вас хороших познаний непосредственно в экономике. Для решения этой задачи, прежде всего, требуется внимательность, а также понятия о процентах и прогрессиях, умение аккуратно вычислять в столбик и другие приёмы, изученные даже не в старших, а в средних и младших классах школы. Задача казалась сложной только в первые годы появления в составе ЕГЭ, теперь она привычна и успешно решается большинством выпускников, поэтому в текущем (2024) году её максимальная "стоимость" составляет всего 2 балла.

Конкретные примеры рассмотрим позднее.

Задание 17

Многообразие задач по планиметрии, фактически, необъятно. По моему мнению, для подготовки сначала лучше избрать "пофигурный" подход, как это предлагается на странице сайта, посвященной планиметрии в группе заданий с кратким ответом. А затем перейти к решению задач на комбинации фигур. Например, повторить вписанные и описанные окружности и т.п. Не забудьте повторить темы:

1. Площади плоских фигур.
2. Правильные многоугольники.

Задание 18

Это задание носит исследовательский характер, свойственный задачам с параметром. При решении таких задач не следует стараться вспомнить, как решалась аналогичная задача в классе. Здесь главное применить все накопленные знания об этом типе уравнений или систем уравнений, все свойства встречающихся функций. Из двух основных методов решения задач с параметром - графического и аналитического - лучше тот, где лично у Вас больше знаний.

Перейти к просмотру примеров:

1. Методы решения задач с параметрами.
   
2. Система уравнений с параметром. КИМ реального ЕГЭ 2015 года, досрочный период.
   
3. Уравнения с параметрами. КИМ реального ЕГЭ 2016 года, основной период.
   
4. Система уравнений. Графическое решение. Вариант реального ЕГЭ 2018 года, досрочный период.
   
5. Видео-материалы по теме "Решение уравнений с параметрами." (Другие видео можно найти на youtube-канале "Mathematichka".)
   

Задание 19

Логическое задание, которое не только не требует от Вас знаний высшей математики, но наоборот, заставляет вспомнить то, что изучали несколько лет назад, в основном, в 5-6 классах. Позже этот материал стал настолько привычным, что его трудно разложить "по полочкам". Фактически, задание проверяет не знание школьного курса математики, а умение думать самостоятельно и логично. К сожалению, с этой задачей справляются не все.

Конкретные примеры рассмотрим позднее.