Математика ЕГЭ 2021.
Профильный уровень. Задачи с развёрнутым ответом.

Задача 13
Задача 14
Задача 15
Задача 16
Задача 17
Задача 18
Задача 19

а) Решите уравнение \[2\sin{(x+\frac{\pi}{3})} + \cos{2x} = \sqrt{3}\cos{x} + 1.\] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [-3\pi;-\large{\frac{3\pi}{2}}] \).

\[ Ответ:\\ а) {\pi}k, k \in Z, \frac{\pi}{6} + 2{\pi}n, n \in Z, \frac{5\pi}{6} + 2{\pi}m, m \in Z, \\ б)-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}.\]

В демонстрационном варианте представлен пример тригонометрического уравнения. Но уравнение может быть любым. Необязательно тригонометрическим, хотя действительно чаще всего бывает таковым. Однако, не стоит зацикливаться на повторении методов решения только этого вида уравнений, чтобы ваш реальный экзаменационный вариант не оказался с "сюрпризом".

В соответствии с документами, регламентирующими содержание контрольных измерительных материалов для составления вариантов ЕГЭ по математике, выпускник должен уметь решать квадратные, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения и системы уравнений с двумя неизвестными,
а также знать основные приёмы решения уравнений: разложение на множители, введение новых переменных, ... и систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, ...
и уметь использовать свойства и графики функций при решении уравнений.

К уравнениям, представленным во второй части экзаменационного варианта, всё это относится в полной мере.

Квадратные уравнения
Отдельное квадратное уравнение в этом задании встретиться не может. По уровню трудности оно относится к первой части - заданию №7 с кратким ответом. Однако очень часто его приходится решать в качестве промежуточного этапа для другиз типов уравнений. Поэтому очень важно не просто уметь решать квалратные уравнения, а уметь решать их быстро, качественно и разнообразно. Посмотрите примеры такого подхода к квадратным уравнениям.

  1. 4,5 способа решения одного квадратного уравнения.
  2. Квадратное уравнение. Быстро и без ошибок.

Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения

Тригонометрические уравнения
Эти уравнения самые востребованные в задании № 13 и самые разнообразные (потому и востребованные). Им будет посвящено несколько страниц сайта. Пока стоит повторить основные определения и формулы. Привыкнуть пользоваться тригонометрическим кругом и графиками функций.

  1. Формулы тригонометрии.
  2. Использование тригонометрического круга.
  3. Функции и графики

Показательные уравнения
Логарифмические уравнения
Системы уравнений с двумя неизвестными

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Ответ: \(б) \arcsin{\sqrt{\frac{3}{8}}}.\)

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона АВ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

Ответ: \(б) \frac{12}{\sqrt{5}}\)

Это задание по стереометрии, пожалуй, относится к числу наиболее сложных, так как включает в себя этапы построения, доказательства и вычисления. Переходить к заданиям по стереометрии высокого уровня сложности имеет смысл после того, как освоили более простые постановки задач, в частности, уверенно решаете задание 8. Изучите ссылки на вкладке, посвященной этому заданию, на странице с анализом задач с кратким ответом. Это позволит быстро повторить теорию для простых случаев - правильных многогранников и тел вращения. Обязательно вернитесь к первым параграфам учебников по стереометрии, чтобы повторить основные аксиому и теоремы о точках, прямых и плоскостях в пространстве. И только потом приступайте к подготовке к этому заданию.

Готовиться к решению этого задания лучше всего на примерах, разбирая которые, не забывайте обращаться к теории.

Перейти к просмотру примеров:

  1. Реальное задание ЕГЭ: разбор на этом сайте.
  2. Оно же на YouTube канале Mathematichka.
  3. Задачи на построение сечений многогранников

Решите неравенство \[ \log_{11}{(8x^2+7)} - \log_{11}{(x^2+x+1)} \ge \log_{11}{(\frac{x}{x+5} + 7)}.\]

Ответ: \( ( - \infty ; - 12];\left( { - \frac{{35}} {8};0} \right]. \)

В Демонстрационном варианте представлено логарифмическое неравенство. Как и в случае уравнения (задание 13), в реальном варианте неравенство не обязано быть логарифмическим. В соответствии с документами, регламентирующими КИМ, выпускники должны уметь решать

  • Квадратные неравенства
  • Рациональные неравенства
  • Показательные неравенства
  • Логарифмические неравенства
  • Системы линейных неравенств
  • Системы неравенств с одной переменной
А также уметь анализировать равносильность неравенств, применять метод интервалов, использовать свойства и графики функций при решении неравенств.

Логарифмические неравенства чаще других встречаются в ЕГЭ по математике профильного уровня потому, что логарифм имеет ограниченную область определения, и это ограничение также задаётся неравенством. Таким образом, при решении такого задания мы быстро переходим к системе и/или совокупности неравенств, что позволяет создателям варианта на одной задаче проверить два пункта КИМ. Однако, если вам попадётся другое неравенство, не говорите, что не предупреждали, и не теряйтесь. В частности, таким же свойством обладает область определения квадратного корня. И легко составить иррациональное неравенство, которое в решении будет сводиться к системе, содержащей линейное и квадратное неравенства, что вполне удовлетворяет КИМ и требованиям к соблюдению одинакового уровня сложности вариантов.

Постепенно я постараюсь рассмотреть примеры решения неравенств всех упомянутых типов, Пока перейдите к следующим примерам:
  1. Решение неравенств. Общие соображения.
  2. Решение неравенств методом интервалов.
  3. Иррациональные неравенства: классическое решение.
  4. Иррациональные неравенства: решение уравнением, решение рационализацией.
  5. Основные положения и методы решения показательных неравенств.
  6. Примеры решения показательных неравенств из банка заданий ЕГЭ

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Ответ: 3,2

Многообразие задач по планиметрии, фактически, необъятно. По моему мнению, для подготовки сначала лучше избрать "пофигурный" подход, как это предлагается на вкладке "Задача 6" в группе заданий с кратким ответом. А затем перейти к решению задач на комбинации фигур. Например, повторить вписанные и описанные окружности и т.п. Не забудьте повторить темы:
  1. Площади плоских фигур.
  2. Правильные многоугольники.

15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата15.0115.0215.0315.0415.0515.0615.07
Долг
(в млн рублей)
1,00,60,40,30,20,10

Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Ответ: 7

Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x2 + x + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x2 + x + 7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Ответ: p = 9.

Так называемая "экономическая задача". Хотя на этапе окончания средней школя никто не требует от Вас хороших познаний непосредственно в экономике. Для решения этой задачи, прежде всего, требуется внимательность, а также понятия о процентах и прогрессиях, умение аккуратно вычислять в столбик и другие приёмы, изученные даже не в старших, а в средних и младших классах школы. Задача казалась сложной только в первые годы появления в составе ЕГЭ, теперь она привычна и успешно решается большинством выпускников.

Конкретные примеры рассмотрим позднее.

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9,} \\ {(x + 2)^2 + y^2 = a^2 \text{ }} \\ \end{array} } \right. \] имеет единственное решение.

Ответ: \( 2; \sqrt{65} + 3.5 \)

Это задание носит исследовательский характер, свойственный задачам с параметром. При решении таких задач не следует стараться вспомнить, как решалась аналогичная задача в классе. Здесь главное применить все накопленные знания об этом типе уравнений или систем уравнений, все свойства встречающихся функций. Из двух основных методов решения задач с параметром - графического и аналитического - лучше тот, где лично у Вас больше знаний.

Перейти к просмотру примеров:

  1. Методы решения задач с параметрами.
  2. Система уравнений с параметром. КИМ реального ЕГЭ 2015 года, досрочный период.
  3. Уравнения с параметрами. КИМ реального ЕГЭ 2016 года, основной период.
  4. Система уравнений. Графическое решение. Вариант реального ЕГЭ 2018 года, досрочный период.
  5. Видео-материалы по теме "Решение уравнений с параметрами." (Другие видео можно найти на youtube-канале "Mathematichka".)

По этой теме возможны индивидуальные онлайн- и оффлайн- консультации. Обращайтесь по e-mail mathematichka@yandex.ru чтобы узнвть условия.

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?
в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

На доске написаны десять попарно различных натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех этих десяти чисел равняться 11?
в) Каково наибольшее возможное значение среднего арифметического всех этих десяти чисел при данных условиях?

Ответ: а) нет; б) нет; в) 10,5.

Логическое задание, которое не только не требует от Вас знаний высшей математики, но наоборот, заставляет вспомнить то, что изучали несколько лет назад, в основном, в 5-6 классах. Позже этот материал стал настолько привычным, что его трудно разложить "по полочкам". Фактически, задание проверяет не знание школьного курса математики, а умение думать самостоятельно и логично. К сожалению, с этой задачей справляются не все.

Конкретные примеры рассмотрим позднее.

персонаж

Будущие абитуриенты, приступайте к подготовке ко второй части экзамена профильного уровня. Уже пора. В содержании контрольно-измерительных материалов ЕГЭ 2021 года по сравнению с 2020 годом ничего не изменилось. Все те же 7 задач повышенного уровня сложности с развёрнутым ответом.

Сохранилась также система оценивания этих заданий. Эта система основывается на следующих принципах.
1. Возможны различные способы решения задачи и записи развернутого решения. Главное – оно должно быть математически грамотным и оформлено так, чтобы проверяющий мог Вас правильно понять.
2. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях. Изложение решения не стоит деаать слишком подробным и тяжеловесным.

Например, необязательно писать "Так как в параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, то имеем AB = CD" и, тем более, доказывать это равенство. Достаточно такой строки "ABCD - параллелограмм, следовательно AB = CD". Можно даже написать просто "AB = CD", но только, если выше Вы много рассуждали о заданной фигуре и доказали, что она является параллелограммом. Однако, если ни в условии задачи, ни в предыдущей части решения ничего не было сказано о четырёхугольнике ABCD, то вдруг возникшее утверждение "AB = CD" будет считаться необоснованным. Помните, за необоснованность решения снижают баллы, а за слишком длинное описание решения не снижают, но на это уходит время, которое можно было бы использовать для решения других задач.

Посмотрите, какую помощь вы можете получить на этом сайте, при подготовке к решению задач с развёрнутым ответом. Чтобы была понятна тема задания, на вкладки вынесены соответствующие примеры из Демонстрационного варианта ЕГЭ по математике профильного уровня. Полностью демонстрационный вариант можно посмотреть на официальном сайте ФИПИ или здесь.

Чтобы потренировать решение заданий профильного уровня с кратким ответом перейдите к разделу Профильный уровень. Задачи с кратким ответом.

Другие задачи , полностью или частично совпадающие с заданиями ЕГЭ с развернутым ответом, можно найти, пользуясь оглавлением в разделе Карта сайта.



Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Вернуться к решению задач ЕГЭ по математике с кратким ответом.

   Переход  на главную страницу сайта.

Удачи!
А если ты заметил ошибку, неточность или опечатку, пожалуйста, сообщи об этом на
  mathematichka@yandex.ru