ОГЭ 2021 - готовимся по Демоверсии.

Это задание, как и следующие четыре, на ОГЭ по математике впервые было представлено в 2020 году. Основное умение, проверяемое этим заданием, это умение использовать приобретённые знания в практической деятельности и повседневной жизни. Чтобы решить задачу нужно несколько раз внимательно прочитать текст под планом участка и выделить ключевую информацию. Не забывайте, что на рисунке непосредственно в тексте работы можно делать отметки и выполнять необходимые Вам построения.

Так же, как в первой задаче внимательно изучаем текст и план, чтобы определиться сначала с общим количеством плитки, а затем с упаковками.

Решив первые две задачи, мы уже определились с тем, какая фигура на плане обозначает жилой дом. В нашем случае это пятиугольник. Чтобы вычислить его площадь нужно мысленно "разрезать" его на более простые фигуры (здесь можно на прямоугольники) или, наоборот, "склеить" из них. Строго говоря, воспользоваться свойством аддитивности площади.

Сначала подумайте и отметьте на плане дома точку, ближайшую к гаражу, и на плане гаража - точку, ближайшую к дому. Соедините эти точки прямой линией с помощью линейки. Если построенная прямая не совпадает с линиями сетки, т.е. наклонна по отношению к ним, то придётся воспользоваться теоремой Пифагора.

Задачи с условием в виде таблицы встречались в разные годы как в ЕГЭ по математике обоих уровней, так и в ОГЭ. Бывали варианты, когда достаточно только сравнить табличные значения, чтобы выбрать нужное. Бывали варианты, когда требовалось провести дополнительные вычисления. Представленная здесь задача относится к последнему типу. Такие задачи лучше всего решать добавлением в таблицу столбиков с промежуточными результатами. Это позволяет лучше структурировать данные и облегчает их последующий анализ и выбор ответа. В разделе "Задачи на табличные данные" на странипе сайта Задания на табличное и графическое представление данных представлены примеры решения именно таких задач.
Решение непосредственно этой задачи можно посмотреть здесь.

Здесь слагаемые представлены в разных формах: в виде обыкновенной и десятичной дробей. Начать нужно с приведения чисел к одинаковому виду. Если знаменатель обыкновенной дроби делится только на 2-ки и 5-ки, то лучше переходить к десятичным дробям, иначе - к обыкновенным.
Для сложения и вычитания десятичных дробей расположите их в столбик, не забыв поставить запятую под запятой.
Для сложения и вычитания обыкновенных дробей приведите их к общему знаменателю.
Какой бы способ решения конкретно этой задачи Вы не выбрали, обязательно научитесь переводить десятичные дроби в обыкновенные и обыкновенные в десятичные. Первое потому, что обыкновенную дробь не всегда можно представить конечной десятичной, а значит промежуточные действия могут быть выполнены не точно, а с округлением. Последнее потому, что конечный ответ требуется записать в бланк в виде десятичной дроби.
Кроме примера на сложение или вычитание, в этом задании Вам могут быть предложены упражнения на умножение и деление дробей и смешанных чисел, на раскрытие скобок, возведение дробей во 2-ю (квадрат) и 3-ю (куб) степени, а также на запись разрядов десятичного числа через степени 10-ки.
Такое же задание есть в ЕГЭ за 11 класс, оно присутствует в варианте базового уровня под номером 1.

Точка расположена на отрезке от 0 до 10. Следовательно, чтобы ответить на вопрос задания, нужно сравнить эти числа (0 и 10) с указанным в условии набором чисел.
В общем случае, для сравнения рациональных чисел нужно представить их в одинаковой форме: либо в форме обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем, либо в форме десятичных чисел. Если в задании присутствуют иррациональные числа, которые нельзя представить обыкновенными дробями, то следует для всех чисел выбрать именно десятичное представление. Причём для бесконечных десятичных дробей, как периодических, так и непериодических, нужно определять примерные значения с точностью, сопоставимой с десятыми долями длины отрезка. Например, в этой задаче длина отрезка равна 10, поэтому достаточно округлить примерные значения до целых чисел.

Аналогичное задание в ЕГЭ базового уровня представлено под номером 17а. Усложнение для 11-го класса состоит в том, что среди проверяемых чисел могут оказаться значения пока неизвестных вам показательной и логарифмической функций.

Здесь можете потренироваться в решении этого задания в других постановках. (Упражнение работает, если ваш браузер поддерживает flash. Номер упражнения устарел. Смысл нет.)

Конечно, в таких задачах можно просто подставлять в выражение числовые значения переменных и вычислять ответ по правилам арифметики. Но в абсолютном большинстве случаев это будет слишком нерационально: долго и чревато ошибками. (Однако, если вы совсем не представляете другого способа решения, иногда лучше попытаться сделать так, чем никак.)

Правильный подход к решению задачи, состоит в том, чтобы сначала преобразовать символьное выражение, максимально упростить его и только потом подставлять числовые значения для получения окончательного ответа.

Для успешного выполнения этого задания вам нужно повторить ряд формул из курса алгебры, в частности, формулы сокращенного умножения, свойства степеней и корней, методы разложения на множители. Это можно сделать прямо сейчас, щелкнув по уменьшенной копии шпаргалки. Повторным щелчком рисунок уменьшается.

Кроме того, среди задач этого задания часто встречаются формулировки, связанные с возможной иррациональностью значений корней. Вы можете посмотреть их здесь (в старой нумерации), если ваш браузер поддерживает flash. В любом случае, следует повторить понятие - иррациональное число, а также правила округления десятичных чисел.

Любое рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Каждое иррациональное число можно записать только в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Примерами иррациональных чисел являются "неизвлекаемые" корни 
√2_ = 1,414213562373095048801688724209... ≈ 1,41 
√117___ = 10,81665382639196787935766380241... ≈ 10,8 
число π = 3,141592653589793238462643383279... ≈ 3,14; 
sin15° = 0,258819045102520762348898837624... ≈ 0,26 и т.п.

Это приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета. Однако никто не запрещает вам решить его и через дискриминант.
Рациональные уравнения (линейные, квадратные, целые рациональные и дробно-рациональные) в школьной программе изучаются в 9-ом классе и ранее. На экзамене вам может встретиться любое уравнение одного из этих четырёх видов.
В ЕГЭ 11 класса обоих уровней также присутствует по одному подобному заданию. Список видов уравнений в ЕГЭ, конечно, шире, но также включает рациональные уравнения. Девятиклассникам на странице сайта, посвященной решению простых уравнений, потребуется всё, кроме второй половины таблицы с уравнениями разных типов.

На сайте "mathematichka.ru" представлено много материалов по теме Вероятность. Найти всё, что вас заинтересует, можно по перекрестным ссылкам.
В этом задании ОГЭ по математике чаще всего встречаются задачи на применение классического определения вероятности и на основы комбинаторики. Этим же темам посвящены задачи базового уровня ЕГЭ.

Задачи только на определение вероятности

Задачи с использованием элементов комбинаторики

В этом задании могут быть различные вопросы, связанные с анализом и сравнением графиков линейной, квадратичной, степенной и дробно-рациональной функций. Повторите свойства этих графиков, пользуясь Таблицей графиков элементарных функций. Ваши первые 7 строк, до "Показательной функции".
Чтобы научиться решать аналогичные задачи в другой постановке, когда требуется сравнить графики одной и той же функции, но с различными коэффициентами, например, параболу с параболой или прямую с прямой, посмотрите уроки на темы:
Свойства линейной функции y = kx + b
Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена y = аx² + bx + c.
Эти уроки дополнены видеопримерами решения заданий с параболой и с прямой.
Также потренируйте решение задач и сравните ваши выводы с моими на странице Задания ОГЭ на анализ графиков.

Первое, что нужно сделать после прочтения текста условия, – убедиться в том, что единицы измерения физических величин в формуле и в числовых данных соответствуют вопросу задачи. Иначе, может потребоваться, например, сначала от метров в секунду перейти к километрам в час и т.п.
Второе - подставить заданные числа в формулу и привести подобные члены, если они есть.
И наконец, может потребоваться решить простое уравнение относительно той переменной, которая осталась неизвестной.

Проверьте себя на аналогичных задачах базового уровня ЕГЭ: 4а, 4б и 4в.

В этом примере представлена система двух очень простых линейных неравенств. Для решения подобных систем достаточно повторить свойства числовых неравенств и уметь пользоваться числовой прямой, чтобы изображать на ней пересечения и объединения множеств. В действительности, в 9-ом классе вы изучали и более сложные квадратные и дробно-рациональные неравенства. Такие тоже могут встретиться под этим номером, а их комбинация может оказаться и под номеров 20 во второй части варианта. Поэтому стоит посмотреть полностью примеры на странице Решение неравенств. Общие соображения, а также повторить один из самых эффективных методов решения рациональных неравенств Метод интервалов.

В этом задании вам могут быть предложены различные задачи по теме Последовательности. Вы изучали само понятие "последовательность" и два характерных вида последовательностей – прогрессии: арифметическую и геометрическую. Они характеризуются тем, что каждый следующий член прогрессии может быть найден по значению предыдущего.

Усложнение этого года состоит в том, что формулировки задач имеют практический смысл и выглядят как обычные текстовые задачи. Догадаться о том, что они на тему "последовательности и прогрессии", конечно, можно по номеру задания, но лучше сразу опираться на ключевые слова.

Какое-то действие, явление, характеристика регулярно повторяются из раза в раз, друг за другом, последовательно – задача на последовательность (прогрессия - тоже последовательность, только особенная).

В задаче что-то регулярно возрастает или убывает НА одно и то же число: на одно и то же количество больше или на одно и то же количество меньше. Это арифметическая прогрессия.

В задаче что-то регулярно увеличивается или уменьшается В одно и то же число раз: в одно и то же число раз больше или в одно и то же число раз меньше. Это геометрическая прогрессия.

Чтобы повторнить определения и формулы, связанные с этой темой, обратитесь к разделу Задачи на прогрессии. Там же вы можете посмотреть примеры решения задач на прогрессии и последовательности с практичеcким содержанием.

А те, кому интересно усовершенствовать свой английский параллельно с повторением математики, могут найти аналогичные задачи в разделе Определения и обозначения. Эта часть сайта предназначена для взрослых, которые планируют сдавать международные экзамены, но всё, что нужно девятикласснику там тоже есть.

В первой части задания 15-19 это задания по геометрии. В 9-ом классе они включают в себя задачи по планиметрии. Напомню: планиметрия изучает свойства плоских фигур, стереометрия - объёмных, таких как шар, параллелепипед и т.п. Планиметрия в школе полностью проходится до 10-го класса. Поэтому набор заданий в ОГЭ за 9 класс по этой теме шире и серьёзнее, чем в ЕГЭ за 11 класс. В частности, задания этого номера посвящены в основном свойствам треугольников.

Повторить свойства и определения, связанные с треугольником (при наличии в браузере flash).

Задания этого номера преимущественно посвящены окружности. Хотя могут быть и комбинированные варианты, например, окружность может быть описана вокруг четырёхугольника или вписана в треугольник.

В любом случае требуется повторить свойства, определения и формулы, связанные с окружностью.

Чтобы повторить все формулы площадей, которые вы изучали, перейдите на страницу "Площади плоских фигур"

Среди заданий на клетчатой бумаге встречаются задачи на треугольники и окружности, аналогичные заданиям 15 и 16, но еще чаще – задачи на определение площади. Последние можно потренировать здесь или посмотреть аналогичные для ЕГЭ здесь.
Конкретно эта задача является примером случая, когда нужно провести на клеточках дополнительные построения. Здесь нужно построить по целым(!) клеточкам прямоугольный треугольник с заданным острым углом.

Повторите теорию с моими тестами по планиметрии. Доделывайте каждый тест до конца (до 10-го или 11-го вопроса), чтобы получить ссылку на ответы и объяснения.

Решение типовых задач этого задания можно посмотреть на канале mathematichka на YouTube.
Задача с гиперболой и параллельными прямыми вида y = m.
Задача с параболой и пучком прямых вида y = kx.
Для индивидуальной подготовки смотрите задачи на странице "Задание на построение графиков" этого сайта. Она содержит 15 задач из банка заданий с рисунками, ответами и комментариями.

Примеры решения других задач, содержаших окружность, представлены в разделе Задачи по геометрии с окружностями