Логотип Математички

Ещё раз о теореме Виета

С вопросами, комментариями, предложениями обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

В Новогоднем поздравлении Деда Мороза был предусмотрен небольшой сюрприз за решение несложной задачи – определить сумму корней квадратного уравнения. Наиболее быстрым и простым способом решения этой задачи является использование теоремы Виета:

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, коэффициент при \(x^2\), равен единице. Если же старший коэффициент не равен единице, то уравнение не является приведенным и напрямую теорему Виета применять нельзя. Однако это не проблема. Чтобы получить из любого квадратного уравнения приведенное, нужно разделить его на первый коэффициент, т.е. все коэффициенты и 0 в правой части разделить на коэффициент при \(x^2\). Благодаря тому, что 0 делится на любое число, кроме самого нуля, полученное приведенное уравнение будет равносильно заданному.

Кроме того, Дед Мороз обещал ответить на вопрос: "Будет ли решение у его задачи, если дискриминант уравнения окажется отрицательным?" Ответ содержится во нижней части этой страницы, а пока

вспомним парочку примеров.

Пример 1. Определите сумму корней квадратного уравнения \[x^2 − 10x + 5 = 0.\]

Решение.

Уравнение является приведенным, следовательно искомая сумма его корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, т.е. равна −(−10) = 10.

Ответ: 10.

Для сравнения рассмотрим альтернативное решение – решение через дискриминант с поиском числовых значений корней для определения ответа их сложением.

\[x^2 − 10x + 5 = 0 \\ D = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 100 - 20 = 80; \\ \sqrt{D} = \sqrt{80} =\sqrt{5\cdot16} = 4\sqrt{5} \\ x_1 = \frac{10 - 4\sqrt{5}}{2\cdot1} \approx 0,52786; \; x_2 = \frac{10 + 4\sqrt{5}}{2\cdot1} \approx 9,47214;\\ x_1+x_2= 0,52786 + 9,47214=10.\]

Как видно, тем, кто не любит теорему Виета, пришлось бы потрудиться, а также прибегнуть к использованию калькулятора.

Пример 2. Определите сумму корней квадратного уравнения \[4x^2 − 9x + 3 = 0.\]

Решение.

Уравнение не является приведенным. Разделим обе части уравнения на 4: \[\frac{4x^2}{4} − \frac{9x}{4} + \frac{3}{4} = \frac{0}{4}; \\x^2 − \frac{9}{4}x + \frac{3}{4} = 0; \\ x^2 − 2,25x + 0,75 = 0.\] Получилось приведенное уравнение, второй коэффициент которого равен −2,25, а с противоположным знаком 2,25.

Ответ: 2,25.

В самом деле здесь представлено чуть более полное решение, чем необходимо для ответа на этот конкретный вопрос. Необязательно делить на первый коэффициент всё уравнение, достаточно взять второй коэффициент с противоположным знаком +9 и разделить его на 4.

Для тех, кто не ищет лёгких путей, рассмотрим решение через дискриминант. Только теперь, памятуя о ЕГЭ и ОГЭ, постараемся обойтись без калькулятора.

\[4x^2 − 9x + 3 = 0 \\ D = (-9)^2 - 4\cdot4\cdot3 = 81 - 48 = 33; \; \sqrt{D} = \sqrt{33} \\ x_1 = \frac{9 - \sqrt{33}}{2\cdot4}; \; x_2 = \frac{9 + \sqrt{33}}{2\cdot4}; \\ x_1+x_2 = \frac{9 -\sqrt{33}}{8} + \frac{9 +\sqrt{33}}{8} = \frac{9 -\sqrt{33}+ 9 +\sqrt{33}}{8} = \frac{18}{8} = 2,25.\]

А теперь перейдём к самому интересному вопросу -

что будет с этой задачей, если дискриминант уравнения окажется отрицательным?

Мы говорим, что в этом случае уравнение не может иметь корней. Но почему нет корней? Потому, что по формулам требуется извлечь квадратный корень из дискриминанта, а для отрицательных чисел он не существует.

Однако вспомним младшие классы. Почему в первом классе мы говорили. что нельзя вычитать из меньшего большее? Потому что не знали отрицательных чисел, все операции должны были выполняться внутри множества натуральных чисел. Почему в пятом классе мы говорили, что некоторые числа можно делить, например, на 3, а другие нельзя? Потому, что тогда мы не знали дробей, все операции должны были выполняться на множестве целых чисел. Теперь мы работаем на множестве действительных чисел. Так может быть, можно выйти за его пределы, расширить множество доступных чисел, чтобы снять ограничение на вычисление корней чётной степени из отрицательных чисел?

Да, действительно, в математике определено более широкое множество комплексных чисел со своими операциями и законами. Обозначается С. Подробно о комплексных числах сейчас говорить не будем. Чтобы решить нашу задачу, возьмём только один элемент этого множества – мнимую единицу.

Итак, мы знаем, что невозможно возвести в квадрат действительное число , т.е. умножить само на себя, так, чтобы в ответе получилось отрицательное число. При умножении как "плюс на плюс", так и "минус на минус", в результате дают плюс. Минус получается при умножении чисел с разными знаками, но это уже не "само на себя", т.е. не возведение в квадрат. А давайте представим себе, что где-то во вселенной такое возможно. Вообразим такое число, которое при умножении само на себя в результате даёт действительное число −1. Обозначим это воображаемое (мнимое) число буквой "i" и назовём его мнимой единицей. \[i^2 = -1\] Тогда будет существовать и обратная операция - извлечение квадратного корня из минус единицы \(\sqrt{-1} = i\). А вместе с ней и возможность извлекать квадратные корни из любых отрицательных чисел. Например, \[ \sqrt{-36} = \sqrt{-1\cdot36} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{36} = i\cdot6 = 6i \\ \sqrt{-5} = \sqrt{-1\cdot5} = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{5} = i\sqrt{5}\]

Замечание: в современной математике принято во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения. Поэтому, если число, из которого нужно извлечь квадратный корень отрицательно, и мы работаем на множестве комплексных чисел, то не нужно записывать минус под корнем, а нужно, поняв и запомнив действия, аналогичные представленным в этих двух строчках, выполнять их в уме и сразу записывать результат с мнимой единицей перед знаком радикала и модулем этого числа под знаком радикала. Например, корень из минус тридцати шести записывать как \(i\sqrt{36}\).
Если же мы находимся на множестве действительных чисел, то корень вообще извлекать нельзя.

Рассмотрим еще примеры.

Пример 3. Определите сумму корней квадратного уравнения \[x^2 − 10x + 61 = 0.\]

Решение.

\[x^2 − 10x + 61 = 0 \\ D = (-10)^2 - 4\cdot1\cdot61 = 100 - 244 = -144; \\ \sqrt{D} = i\sqrt{144} = 12i \\ x_1 = \frac{10 - 12i}{2\cdot1}; \; x_2 = \frac{10 + 12i}{2\cdot1};\\ x_1+x_2 = \frac{10 - 12i}{2} + \frac{10 + 12i}{2} = \frac{10 - 12i + 10 + 12i}{2} = 10.\]

Ответ: 10.

Ответ, как и по теореме Виета, получился равным второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример 4. Определите сумму корней квадратного уравнения \[4x^2 − 36x + 181 = 0.\]

Решение.

\[4x^2 − 36x + 181 = 0 \\ D = (-36)^2 - 4\cdot4\cdot181 = 1296 - 2896 = -1600; \\ \sqrt{D} = i\sqrt{1600} = 40i; \\ x_1 = \frac{36 - 40i}{2\cdot4} = \frac{9 - 10i}{2} ; \; x_2 = \frac{36 + 40i}{2\cdot4} = \frac{9 + 10i}{2};\\ x_1+x_2 = \frac{9 - 10i}{2} + \frac{9 + 10i}{2} = \frac{9 - 10i + 9 + 10i}{2} = 9.\]

Ответ: 9.

Ответ, как и по теореме Виета, получился равным второму коэффициенту с противоположным знаком, делённому на старший коэффициент, так как уравнение неприведенное \(36:4 = 9\).

Посмотрим, чему будет равно произведение корней уравнения в этом примере. \[x_1\cdot x_2 = \frac{9 - 10i}{2} \cdot \frac{9 + 10i}{2} = \frac{(9 - 10i)\cdot (9 + 10i)}{2\cdot2} = \\ = \frac{9^2 - (10i)^2}{4} = \frac{81 - 10^2\cdot i^2}{4} = \frac{81 - 100\cdot(-1)}{4} = \frac{81 + 100}{4} = \frac{181}{4} \]

Произведение корней, как и по теореме Виета, получилось равным свободному члену уравнения, делённому на старший коэффициент, так как уравнение неприведенное.

Таким образом, теорема Виета работает и тогда, когда дискриминант уравнения отрицательный, а его корни вооброжаемые (точнее принадлежат множеству комплексных чисел). Мы можем проверить это утверждение в самом общем виде просто сложив и перемножив формулы для вычисления корней квадратного уравнения

\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a},\; x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}; \\ x_1+x_2 =\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{D}-b + \sqrt{D})}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}; \\ x_1\cdot x_2 =\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \cdot \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{(-b - \sqrt{D})\cdot (-b + \sqrt{D})}{2a\cdot 2a} = \\ = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{D})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - D}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} .\] Как видно, сумма корней и произведение корней вообще не зависят от квадратного корня из дискриминанта и соответственно от того, извлекается этот корень или нет. От этого зависит только принадлежат ли корни уравнения действительному числовому множеству или множеству комплексных чисел.

Чаще пользуйтесь теоремой Виета для решения и анализа квадратных уравнений. Посмотрите и другие статьи о них.

  1. 4,5 способа решения одного квадратного уравнения.
  2. Квадратное уравнение. Быстро и без ошибок.