Квадратное уравнение. Быстро и без ошибок.

На экзаменах типа ОГЭ и ЕГЭ часто встречаются квадратные уравнения очень простого вида, корни которых легко находятся по теореме Виета. Однако большинство школьников решают их по полному алгоритму, теряя время и провоцируя себя на ошибки. Кроме того, можно использовать упрощенный подход и в случае второго чётного коэффициента, тем более, для приведенных уравнений. Давайте последовательно рассмотрим все эти способы упрощения вычислений на примере одного уравнения.

Пример 1
Решить уравнение \(42 - 2x^2 = 8x\).

Если старшая степень неизвестного 2-я (\(x^2\)), то нужно всё перенести в левую часть так, чтобы справа оставался 0. Затем расположить степени по старшинству.
\(42 - 2x^2 - 8x = 0\)
\(- 2x^2 - 8x + 42 = 0\)
После этого можно решать уравнение "в лоб" по выученным формулам:

I способ.

\(ax^2 + bx + c = 0 \)
\( D = b^2 - 4ac\)

\(-2x^2 - 8x + 42 = 0 \)
\( D = (-8)^2 - 4\cdot(-2)\cdot42 = 64 + 8\cdot42 = 64 + 336 = 400\)

\( x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\);
\( x_{1} = \dfrac{-(-8)+\sqrt{400}}{2\cdot(-2)} = \dfrac{8+20}{-4} = -\dfrac{28}{4} = -7 \);
\( x_{2} = \dfrac{-(-8)-\sqrt{400}}{2\cdot(-2)} = \dfrac{8-20}{-4} = \dfrac{-12}{-4} = +\dfrac{12}{4}=3 \).

Ответ: {−7; 3}

А можно сначала внимательно посмотреть на коэффициенты, найти общие делители, неудобные знаки... и упростить уравнение. Не забывайте: ноль, умноженный или деленный на любое число, всё равно ноль.

II способ.

а) Разделим обе части уравнения на −2 (на минус два).
\(- 2x^2 - 8x + 42 = 0\) |: −2
\(x^2 +4x - 21 = 0\)

Если не заметили, что уравнение стало приведенным (старший коэффициент "спрятался" \(x^2 = 1· x^2\), а второй коэффициент остался чётным числом, то можно решать по общим формулам, как в первом способе:

\(x^2 +4x - 21 = 0\)
\(D = 4^2- 4\cdot1\cdot(- 21) = 16 + 84 = 100\)
\( x_{1} = \dfrac{-4+\sqrt{100}}{2\cdot1} = \dfrac{-4 +10}{2} = 3 \);
\( x_{2} = \dfrac{-4-\sqrt{100}}{2\cdot1} = \dfrac{-4-10}{2} = -\dfrac{14}{2} = -7 \).

Ответ: {−7; 3}

Выигрыш всё равно есть: числа уменьшились, считать стало легче, риск ошибки на невнимательность снизился.

б) Теперь заметим чётность второго коэфиициента. Такое уравнение можно решать по сокращенным общим формулам.

Пусть \(k = \dfrac{b}{2}\). Тогда
\(ax^2 + 2kx + c = 0 \)
\( D_2 = k^2 - ac\)
\(x^2 +4x - 21 = 0\)
\(D_2 = 2^2-1\cdot(- 21) = 4 + 21 = 25\)

\( x_{1,2} = \dfrac{-k\pm\sqrt{D_2}}{a}\);
\( x_{1} = \dfrac{-2+\sqrt{25}}{1} = -2+5 = 3 \);
\( x_{2} = \dfrac{-2-\sqrt{25}}{1} = -2-5 = -7 \);

Ответ: {−7; 3}

Числа еще меньше. Считать стало еще легче.

в) Если заметили, что уравнение приведенное - не видно старшего коэффициента, точнее коэффициент при \( x^2\) стал равен единице \( x^2 = 1· x^2\), можно решать по правилу:

корни равны половине второго коэффициента с противоположным знаком плюс/минус корень квадратный из этой половины без свободного члена.

Общий вид приведенного квадратного уравнения обычно записывают через другие обозначения переменных:
\(x^2 + px + q = 0 \)
\(x^2 + 4x - 21 = 0 \)
Пусть \(k = \dfrac{p}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\). Тогда по этому правилу получим

\( x_{1,2} = -k\pm\sqrt{k^2 - q} = -2\pm\sqrt{4 - (-21)} = -2\pm\sqrt{25} = -2\pm5 \) ; \( x_{1} = -2 +5 = 3 \);
\( x_{2} = -2-5 = -7 \).

Ответ: {−7; 3}

По сравнению с пунктом "б" ещё и запись стала короче. А главное - правило вычисления корней приведенного квадратного уравнения с чётным коэффициентом \(p\) перед \(x\) можно заучить не формулой, а словами. Очень рекомендую "гуманитариям".

Но приведенное уравнение можно вообще не считать по формулам, а "угадать" (подобрать корни) по теореме Виета:

III способ.

\(x^2 + px + q = 0 \)
\(x^2 + 4x - 21 = 0 \)
Последний коэффициент −21 (с минусом), значит корни будут с разными знаками. Складывая числа с разными знаками, мы их, фактически, вычитаем, поэтому ищем два сомножителя числа 21 разность которых равна 4:
21 = 21·1 и 21 = 3·7
21 − 1 = 20 "холодно" и 7 − 3 = 4 "горячо".
�?так, корни либо 7 и −3, либо −7 и 3. Условие \(x_1·x_2 = q = -21\) выполняется для обеих пар, условие \(x_1 + x_2 = -p = -4\) только для второй пары −7 + 3 = −4. Значит ответ −7 и 3.

Как решать уравнение на экзамене?
Конечно, важно экономить время на экзамене. Оно пригодится для решения более сложных задач. Но непременно нужно проверять свой ответ либо подстановкой корней в уравнение, либо решением другим способом. Проверка - это не потеря времени, это гарантия качества ответа. Но и, выполняя проверку, можно выбрать для неё наиболее быстрый способ.

Пример 2.
Решить уравнение \(3x^2 + 23x - 8 = 0\).

Решение.

Числа 3, 23 и 8 не имеют общих делителей. Сократить не получится.
Второй коэффициент 23 - нечётное число. Упрощенный дискриминант \((D_2)\) использовать не получится.
Решаем по общей схеме:

\(3x^2 + 23x - 8 = 0\)
\( D = 23^2 - 4\cdot3\cdot(-8) = 529 + 96 = 625\)

\( x_{1} = \dfrac{-23+\sqrt{625}}{2\cdot3} = \dfrac{-23+25}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \);
\( x_{2} = \dfrac{-23-\sqrt{625}}{2\cdot3} = \dfrac{-23-25}{6} = \dfrac{-48}{6} = -8\).

Проверка по теореме Виета.

Разделим обе части уравнения на 3. Получим приведенное уравнение с дробными коэффициентами.
\(3x^2 + 23x - 8 = 0\) |: 3
\(x^2 + \dfrac{23}{3}x - \dfrac{8}{3}= 0\)
Сумма корней уравнения должна быть равна второму коэффициенту с противоположным знаком, т.е. \(-\dfrac{23}{3}\). Проверяем:
\(-8 + \dfrac{1}{3} = -7\dfrac{2}{3} = -\dfrac{23}{3}\)
Произведение корней должно быть равно последнему коэффициенту, т.е. \(-\dfrac{8}{3}\). Проверим это:
\(-8\cdot\dfrac{1}{3} = -\dfrac{8}{3}\)
Проверка показала, что уравнение решено верно.

На мой взгляд, в вычислительном плане такой способ проверки здесь оказался намного менее трудоёмким и, соответственно, более быстрым, чем проверка подстановкой корней в уравнение. Но не забывайте, что проверять надо не тем способом, которым решали. �?наче можно просто повторить собственнные ошибки.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь - mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.