логотип

Тригонометрические формулы


В разделе "Тригонометрия" школьного учебника математики вы видите множество формул, которые следует знать. Пытаясь выучить их, вы приходите в ужас и задаетесь вопросом "Зачем?". Формулы нужно знать, чтобы эффективно использовать. Чем больше и лучше вы знаете формулы, тем меньше тратите времени на преобразования тригонометрических выражений, и тем быстрее достигаете цели. Но что делать тому, кому тяжело дается запоминание формализованной информации? Для тригонометрии ответ на этот вопрос, как ни странно, очень прост. Не запоминать все формулы. Учить только часть, замещая остальные знанием определений и свойств тригонометрических функций. Попробуйте воспользоваться моими советами.

Здесь представлены формулы приведения. Чтобы изучить другие группы тригонометрических формул, обратитесь к другим страницам сайта по следующим ссылкам.

  1. Основные тождества.
  2. Формулы сложения.
  3. Формулы кратных аргументов.
  4. Преобразование суммы или разности функций в произведение.
  5. Преобразование произведения функций в сумму или разность.
  6. Формулы понижения степени.
  7. Формулы для половинного аргумента.
  8. Универсальная подстановка (через тангенс половинного угла).

9. Формулы приведения.

Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида

sin(πn— 2  ± α);   cos(πn— 2  ± α);   tg(πn— 2  ± α);   ctg(πn— 2  ± α)


к функциям аргумента α, т.е. вместо больших углов можно рассматривать маленькие, принадлежащие I-ой четверти тригонометрического круга.

Все видели такую или подобную таблицу в учебнике.

Таблица 1. Формулы приведения в радианах.
Функция Аргумент β
π−2  − α π−2  + α π − α π + α 3π−− 2  − α 3π−− 2  + α 2π − α
sinβ cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinα
cosβ sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cosα
tgβ ctgα − ctgα − tgα tgα ctgα − ctgα − tgα
ctgβ tgα − tgα − ctgα ctgα tgα − tgα − ctgα

Пользоваться ею легко. Достаточно выбрать строку с нужной функцией и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы упростить cos(π − α), нужно взять ответ на пересечении столбца, озаглавленного π − α и строки cosβ. Получим cos(π − α) = − cos(α).

Но как такое заучить наизусть?

Вспомним, что углы можно измерять как в радианах, так и в градусах. π радиан составляют 180º, а π/2, соответственно, 90º. Может кому-то больше понравится заучивать эту таблицу, представленную в градусах?

Таблица 2. Формулы приведения в градусах.
Функция Аргумент β
90º − α 90º + α 180º − α 180º + α 270º − α 270º + α 360º − α
sinβ cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinα
cosβ sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cosα
tgβ ctgα − ctgα − tgα tgα ctgα − ctgα − tgα
ctgβ tgα − tgα − ctgα ctgα tgα − tgα − ctgα

По крайней мере, выглядит компактнее. Но для запоминания всё равно сложно. Поэтому формулы приведения учить наизусть не нужно! Если таблица под рукой — учебник, справочник, шпаргалка — пользуемся таблицей. Если её нет — контрольная, экзамен, ЕГЭ — рисуем круг на черновике.

Пример 1. Нужна формула приведения для cos(π/2 − α).

формулы приведения на круге Рисуем на черновике окружность с декартовыми осями. Изображаем на ней угол α - острый угол в I-ой четверти. Удобнее всего брать за образец угол ~ 30º. Отмечаем проекции на осях координат - косинус на горизонтальной оси, синус – на вертикальной.
Находим на окружности точку π/2 и от соответствующей оси откладываем такой же острый угол против часовой стрелки, получится π/2 − α. Отмечаем нужную проекцию: здесь косинус. (Лучше это сделать или более толстой линией, или другим цветом.)
Сравниваем проекции. На глаз видно, что горизонтальная проекция для угла β = π/2 − α (косинус) по длине соответствует вертикальной проекции для α (синус). Все проекции лежат на положительных направлениях осей, значит знаки не изменятся.
Делаем вывод: cos(π/2 − α) = sin(α).

Не сомневайтесь, рисовать на черновике для себя - это очень быстро. А если получается кривовато, то для начала, до того, как выработается привычка, можете распечатать и пользоваться моими шаблонами, которые находятся здесь.

Пример 2. Нужна формула приведения для sin(π + α).

формулы приведения на кругеРисуем окружность с осями (или берем шаблон). Изображаем острый угол в I-ой четверти - угол α. Отмечаем обе проекции на осях координат. Находим на окружности точку π и от соответствующей оси откладываем такой же острый угол по часовой стрелке, получится π + α. Отмечаем нужную проекцию: здесь синус.
Сравниваем проекции. На глаз видно, что искомая проекция (синус угла β = π + α) по длине соответствует вертикальной проекции для α (синус). Но sinα расположен на положительной части оси ординат (угол в первой четверти), а sin(π + α) – на отрицательной части оси (угол в III-ей четверти).
Делаем вывод: sin(π + α) = −sin(α).

Ускорить как заучивание формул приведения, так и процесс их восстановления по рисунку, можно на основе следующих соображений:

  1. Функции sinx и cosx имеют период 2π или 360º, т.е. их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.
  2. Функции tgx и ctgx имеют период π или 180º, т.е. они не изменятся, если на эти величины изменить аргумент функции. (Обратите внимание, в таблицах для строк tgβ и ctgβ необходимы только первые три столбца. Дальше значения ячеек повторяются, начиная от заголовка строки. Эти ячейки, по-существу, "лишние". В учебниках они приведены для сохранения прямоугольной формы таблицы.)
  3. По определению tgx = sinx/cosx и ctgx = cosx/sinx. Значит формулы приведения можно применить к sinx и cosx. Затем подставить их в определение tgx или ctgx и посмотреть результат. Так что без двух нижних строк таблицы тоже можно обойтись.
  4. Если одно из слагаемых нового угла развернутый угол π или 180º, то функции синус и косинус сохраняются, могут измениться только их знаки.
  5. Если одно из слагаемых нового угла прямой угол π/2 или 90º, то функция синус заменяется на косинус и, наоборот, косинус превращается в синус. Знаки нужно проверить, определив в какой четверти круга находится конечный угол.

Пример 3.
Нужно вычислить sin237º + sin2127º
Величины углов не табличные, значения их синусов (без калькулятора!) нам неизвестны. Значит, просто подстановкой чисел в выражение вычислить нельзя.
Формул, связывающих синусы и только синусы разных углов, нет. Значит, сразу применить какую-либо формулу нельзя.
Нужно попытаться преобразовать выражение так, чтобы оно содержало пусть разные функции, но одного и того же угла. Для этого внимательнее посмотрим на сами числа 37 и 127, и их комбинации. Например, 37 + 127 = 164; 127 − 37 = 90; 37×127 = ...; 127/37 = ... Видно, что разность этих чисел дает "круглое" по понятиям тригонометрии число 90º. Поэтому преобразовать можно будет, пользуясь формулами приведения.
Решение.
127 − 37 = 90, следовательно 127º= 90º + 37º
sin237º + sin2127º = sin237º + sin2(90º + 37º)
Нарисуем углы на круге или воспользуемся таблицей 2. Находим sin(90º + α) = cosα, следовательно
sin237º + sin2(90º + 37º) = sin237º + cos2(37º) = 1.
Удалось преобразовать выражение к самому простому тригонометрическому тождеству.
Ответ:1

Подобного рода задачи могут встретиться при решении задач на вычисления или уравнений на ЕГЭ по математике. В частности, в варианте профильного уровня 2021 года это могут быть задания 5, 9, 12. Реже тригонометрия встречается в задании 10. Вот реальные примеры из открытого банка заданий ФИПИ. В варианте ЕГЭ базового уровня это могут быть задания 5 и 7. (Нумерация проетов демонстрационных вариантов начала года.) Также формулы могут понадобиться для решения задач по планиметрии.
1) 5tg163/tg17
Мои ответы, −5 и 12, соответственно. А Ваши?



   Перейти  на главную страницу сайта.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.