логотип математички

Построение графиков с модулем
путём преобразований

Модуль аргумента и модуль функции

Внимание: мелкие рисунки увеличиваются щелчком левой клавиши мыши.

Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы "Графики функций и их преобразования", то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

Модуль переменной (абсолютная величина значения) определяется следующим образом:
    |x| = x, если х ≥ 0,
    |x| = −x, если х < 0.

В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.

y = x    график функции y = модуль x
I  График функции y = f (|x|) симметричен относительно оси ординат. Он состоит их двух ветвей. Построение графика функции y = f(|x|) можно осуществить так:
  1. Построить график функции y = f(x).
  2. Исключить его часть, расположенную в отрицательной половине оси абсцисс. (Например, просто стереть ластиком, если график был построен карандашом.)
  3. Построить левую ветвь графика (при отрицательных x) симметричным отображением его правой ветви относительно оси Oy.
II  Функция y = |f (x)| характерна тем, что не имеет отрицательных значений. Чтобы построить график такой функции, нужно:
  1. Построить график функции y = f(x).
  2. Участок графика, расположенный ниже оси абсцисс (при отрицательных y) развернуть на верхнюю половину координатной сетки преобразованием симметрии относительно оси Ox.

Пример 1.

y = |x|-3    y = |x-3|

В этом примере оба графика получены из графика функции  y = x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|), второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)|.

Пример 2.

y =|x|^2 -2|x|-3    y = |x^2 -2x-3|

В этом примере оба графика получены из графика функции  y = x2 − 2x − 3.
Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|), второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)|.

Один из способов быстро и точно построить исходную параболу по характерным точкам показан в видео на канале Mathematichka.

III  При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции \(y=\sqrt{x}.\)
1.    \(y=\sqrt{x}\) 2.    \(y=\sqrt{|x|}\) 3.    \(y=\sqrt{|x-1|}\) 4.   \(y=\sqrt{|x|-1}\) 5.    \(y=|\sqrt{x}-1|.\)

IV  Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x).
Для этого нужно:

  1. Построить график функции y = f(x).
  2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
  3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.
Эти кривые также получены из графика функции \(y=\sqrt{x}\).
6. \(|y|=\sqrt{x}\)    7. \(|y|=|\sqrt{x}-1|\)    8. \(|y|=\sqrt{|x|}.\)   

Пример 3.

Задан график функции y = x2.
Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x2 − 2|x| − 5.

Заметим, что x2 = |x|2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1)2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

Строим график функции f(x) = (x − 1)2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1)2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1)2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

1.   y = x2 2.   y = (x − 1)2 3.   y = (x − 1)2 − 6 4.   y = (|x| − 1)2 − 6
5.   y = (|x| − 1)2 − 6, y ≥ 0 6.   |y| = (|x| − 1)2 − 6

Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

Пример 4.

Задан график функции y = x2.
Построить график функции y = |x2 − 2x − 5|.

Показать ответ


Сумма модулей

Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

Пример 5.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1|.

y = |x-1| + |x-1|

Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1|, используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3. На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

Теперь проверьте себя.

Пример 6.

Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x|.

Показать ответ

      Перейти  на главную страницу сайта.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь - mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.