Наибольшее и наименьшее значение функции.

Эта парабола на области определения имеет только наименьшее значение. Наибольшего значения нет, так как её ветви уходят в бесконечность.

На отрезке [a;b] есть и наибольшее, и наименьшее значения. В этом примере наименьшее значение достигается во внутренней точке отрезка и совпадает с экстремумом (минимумом) функции, наибольшее — на одном из концов отрезка. В данном случае это y = f(b).

Функция рассматривается на интервале (a;b). В этом случае краевые точки a и b не входят в область определения функции на оси Ox, и, соответственно, не определены значения функции f(a) и f(b) на оси Oy. Однако, можно вычислить сколь угодно близкие к ним значения. Поэтому в этом примере функция имеет наименьшее значение, но не достигает наибольшего, его нет.

На этом полуинтервале (a;b] есть наибольшее значение приведенной функции, но наименьшего нет.

Кубическая парабола на области определения имеет два экстремума, но наименьшего и наибольшего значений не достигает: её ветви уходят в бесконечность. E(f) = (−∞; +∞) — область значений кубической параболы.

Здесь на отрезке [a;b] наибольшее значение достигается в точке максимума, а наименьшее в краевой точке отрезка.

Если вместо отрезка [a;b] рассматриваем интервал (a;b) с теми же концами, то наименьшего значения нет.

На рисунке представлен участок графика функции y = arctgx. У него есть две горизонтальные асимптоты. Значения функции ограничены числами −π/2 и π/2, но наибольшего и наименьшего значений у этой функции нет, так ветви графика стремятся к своим асимптотам, но не достигают их. E(f) = (−π/2; π/2) — область значений арктангенса.

Непрерывная функция, заданная на отрезке, всегда имеет наибольшее и наименьшее значения. Но, если функция имеет разрывы, то могут быть различные варианты, как для интервалов, так и для отрезков. Посмотрите на этот график разрывной функции, заданной на отрезке [−2;3]. Здесь функция не имеет наибольшего значения: перед точкой разрыва она возрастает и достигает значений больших, чем в других частях отрезка, но наибольшего не достигает, так как в предполагаемой точке максимума x = 2 она определена другим значением, не у = 2, а y = −1.