логотип Математички: Е в степени Пи

Степенная функция xα

Степенная функция с натуральным показателем

Функция \(y = x^n\), где n – натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем.

При n = 1 получаем функцию \(y = x\), которая относится также к классу линейных функций и является его простейшим представителем. Графиком этой функции является прямая линия – биссектриса первого и третьего координатных углов.

При n = 2 получаем функцию \(y = x^2\), свойства и график которой (парабола) подробно изучаются в школе. Для повторения обратитесь к разделу "Квадратичная функция."

При n = 3 получаем функцию \(y = x^3\), график которой называют кубической параболой.

    Вспомним свойства этой функции:
  1. Область определения функции – вся числовая прямая.
  2. Функция является нечётной: \(f(-x) = -f(x)\), так как \((-x)^3 = -x^3\).
  3. Функция возрастает на всей области определения.

Если n – произвольное чётное натуральное число, больше двух (4,6,8 ...), то функция \(y = x^n\) обладает теми же свойствами, что и функция \(y = x^2\). А её график напоминает параболу.
Если n – произвольное нечётное натуральное число, больше трёх (5,7,9 ...), то функция \(y = x^n\) обладает теми же свойствами, что и функция \(y = x^3\). А её график напоминает кубическую параболу.

На рисунках ниже приведены примеры графиков степенных функций с натуральным показателем n = 4 и n = 5 соответственно.

Степенная функция с целым отрицательным показателем

Функция \(y = x^{-n}\), где n – натуральное число, называется степенной функцией с целым отрицательным показателем.

При n = −1 получаем функцию \(y = x^{-1}\) или \(y = \dfrac{1}{x}\). Графиком этой функции является гипербола, а её свойства подробно изучаются в школьном курсе.

Если n — нечётное число большее 1 (n = 3,5,7,... ), то функция \(y = x^{-n}\) проявляет, практически, те же свойства, что и функция \(y = \dfrac{1}{x}\), а её график по внешнему виду напоминает гиперболу. Пример графика функции \(y = x^{-3}\) или \(y = \dfrac{1}{x^3}\) представлен ниже на правом рисунке.

Пусть n – чётное число, например, n = 2. График функции \(y = x^{-2}\) или \(y = \dfrac{1}{x^2}\), построенный по точкам, представлен ниже на рисунке слева.

    Свойства этой функции таковы:
  1. Функция определена при всех \(x\), кроме \(x = 0\).
  2. Функция \(y = \dfrac{1}{x^2}\) – чётная: \(f(-x) = f(x)\), так как \((-x)^2 = x^2\).
  3. Функция убывает на интервале \((0;+\infty\) и возрастает на интервале \((-\infty; 0)\).

Теми же свойствами и похожим графиком обладают любые функции вида \(y = x^{-n}\) при чётном n, большем двух (n = 4,6,8,... ).

Корень n-ой степени.

Функция \(y = x^{\frac{1}{n}}\) или \(y = \sqrt[n]{x}\), где n – натуральное число, является обратной функцией к степенной с натуральным показателем, поэтому также требует различать случаи чётного и нечётного значений показателя.

При чётном n функция \(y = \sqrt[n]{x}\) обладает теми же свойствами, что и ранее изученная функция \(y = \sqrt{x}\). Её график по виду напоминает график функции квадратный корень из x (рисунок слева).

При нечётном n функция \(y = \sqrt[n]{x}\) обладает теми же свойствами, что и ранее изученная функция \(y = \sqrt[3]{x}\), и график её похож на график функции корень кубический из x (рисунок справа).

Степенная функция с положительным дробным показателем.

Операция возведения в дробную степень определена не для всех значений переменной х, поэтому область определения функций с дробным показателем, как положительным, так и отрицательным, ограничена.

На рисунке слева представлен построенный по точкам график функции \(y = x^{\frac{3}{2}}\). Подобный вид имеет график любой функции \(y = x^{r}\), где r - положительная несократимая дробь и \(r > 1\).

На рисунке справа представлен построенный по точкам график функции \(y = x^{\frac{2}{3}}\). Подобный вид имеет график любой функции \(y = x^{r}\), где \(r\) - положительная несократимая дробь и \(0 < r < 1\).

    Основные свойства степенной функции с положительным дробным показателем таковы:
  1. Область определения - луч \([0;+\infty)\).
  2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
  3. Функция возрастает на всей области определения.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

На рисунке приведен для примера график функции \(y = x^{-\frac{1}{2}}\). Аналогично выглядит график любой функции \(y = x^{r}\), где \(r\) - отрицательная дробь.

    Основные свойства степенной функции с отрицательным дробным показателем таковы:
  1. Область определения - интервал \((0;+\infty)\).
  2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
  3. Функция убывает на всей области определения.

Перейти к сравнению графиков степенных функций \(x^\alpha\) при разных значениях показателя \(\alpha\), можно по этой ссылке, если Вы являетесь моим учеником. Иначе нужно запросить электронным письмом логин и пароль для входа в этот раздел сайта, предварительно внеся спонсорский взнос на его содержание. В письме не забудьте указать контакт для ответа.

 

 Вернуться   к таблице элементарных функций.