Правильные многоугольники

Внимание: формулы загружаются после основного текста и рисунков. Пожалуйста, дождитесь привычного вида обыкновенных дробей.

Многоугольник - замкнутая ломаная линия. В школьной планиметрии изучают плоские линии, без самопересечений. Часть плоскости, ограниченная этой линией, также называется многоугольником. В этом смысле многоугольник имеет площадь. Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами, называется n-угольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

На этом рисунке

1 - простая (без самопересечений) ломаная линия, имеет 6 звеньев и 7 вершин;
2 - шестизвенная ломаная, имеющая одно самопересечение;
3 - выпуклый многоугольник, пятиугольник;
4 - невыпуклый многоугольник, десятиугольник.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Итак, слово "правильный" в условии задачи сразу говорит нам о том, что все стороны и все углы многоугольника одинаковые. Количество углов (вершин) и количество сторон определяем по названию многоугольника. Далее в формулах и задачах будем обозначать это количество символом n.

На рисунке изображен

правильный пятиугольник.

Чтобы построить другие правильные многоугольники, задайте количество сторон n (от 3-ёх до 12-ти).

n =

Сумма углов любого выпуклого n-угольника равна \(180^\circ\cdot(n-2)\).

Формулу легко запомнить, если заметить, что выпуклый многоугольник можно разрезать на n − 2 треугольника по лучам, идущим от одной из его вершин, как на следующем рисунке.
Соответственно, величина каждого из внутренних углов правильного n-угольника определяется по формуле: \[\frac{180^\circ\cdot(n-2)}{n}.\]

Многоугольники можно вписывать в окружность или описывать вокруг неё. Однако, это получается не для всех и не всегда. Говоря математическим языком, не всегда существует окружность, которая удовлетворяет определению.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности.

Если многоугольник вписан в окружность, то можно сказать, что окружность описана около многоугольника, или, наобррот, если многоугольник описан около окружности, то окружность вписана в него. Такие формулировки тоже встречаются в условиях геометрических задач. Чтобы не путаться запомним - вписанная фигура находится внутри описанной около неё.

вписанный многоугольник — Четырехугольник вписан в окружность.

описанный многоугольник — Четырехугольник описан около окружности.

Рассмотрим другие примеры.

Произвольный прямоугольник всегда можно вписать в окружность, но описать нельзя. Описать получится только тогда, когда прямоугольник - это квадрат.

Параллелограмм нельзя вписать в окружность. Описать можно только ромб.

В окружность можно вписать только равнобочную трапецию, описать около окружности тоже можно не всякую трапецию.

Существование вписанной и описанной окружности для произвольных многоугольников связано с величинами их углов и сторон. Есть специальные теоремы, позволяющие определить будет ли многоугольник являться вписанным и/или описанным. Сейчас мы на них останавливаться не будем. Сейчас важно отметить следующее:

Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности всегда.

Радиус \(R\) окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной \(a\), находится по формуле \[R = \frac{a}{2\sin\large{{\frac{180^\circ}{n}}}}.\] Радиус \(r\) окружности, вписанной в правильный n-угольник со стороной \(a\), находится по формуле \[r = \frac{a}{2\mathrm{tg}\large{\frac{180^\circ}{n}}}.\]

Правильные многоугольники имеют центр, точнее совпадающие в одной точке центр симметрии, центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей. Если соединить с центром правильного n-угольника его вершины, то многоугольник разобьется на n равных равнобедренных треугольников.

вписанный многоугольник

Боковые стороны этих треугольников (на рисунке - зелёные отрезки) будут равны радиусу описанной окружности \(R\), а их основания (на рисунке - красные отрезки) равны стороне многоугольника \(a\).

Пользуясь таким чертежом, можно вычислять различные отрезки и углы в многоугольнике на основе знаний о равнобедренных треугольниках.
Например, угол AOB в пятиугольнике равен 360/5 = 72° (360° - полный круг). Угол OAB равен углу OBA и равен (180 − 72)/2 = 54°. Угол CAB = 2×54 = 108°. Сумма всех углов при вершинах пятиугольника 5×108 = 540°.

При решении задач на правильный многоугольник, часто бывает удобно дорисовать внешнюю (описанную) или внутреннюю (вписанную) окружность даже, если они не упоминаются в условии, и соединить вершины и точки касания с центром. Получатся равнобедренные или прямоугольные треугольники, о которых много известно, поэтому задачу будет решать легко.

Синие треугольники равнобедренные потому, что их боковые стороны это радиусы одной и той же окруюности.

Оранжевые треугольники прямоугольные потому, что касательная к окружности перпендикулярна её радиусу.

На ОГЭ по математике в 9-ом классе и на ЕГЭ в 11-ом встречаются задачи с правильными многоугольниками, часто они включают в себя и вписанную или описанную окружность.

Задачи на правильные многоугольники

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки "Посмотреть ответ" и "Посмотреть решение". Cовпадать обязан только ответ. Способ решения может отличаться.

Задача 1

Доказать, что площадь правильного n-угольника можно вычислить по формуле S = pr, где p - полупериметр многоугольника, r - радиус вписанной окружности.

Правильный n-угольник разбивается на n равных треугольников, как показано на рисунке. Равенство треугольников следует из определения правильности многоугольника - все стороны и углы одинаковые.
Площадь одного треугольника, например ОАB, находим по формуле
S_Δ = АВ·ОН/2 = a·r/2,
где AB = a - длина стороны многоугольника, ОН = r - высота треугольника AOB, совпадающая с радиусом вписанной в многоугольник окружности. Совпадение обусловлено тем, что стороны многоугольника являются касательными к этой окружности и потому перпендикулярны к её радиусу в точке касания.
Суммируя по всем треугольникам с учётом того, что они одинаковые получаем
S = n·S_Δ = n·a·r/2 = (n·a/2)·r = pr,
так как выражение n·a представляет собой сумму длин всех n сторон многоугольника, т.е. периметр.

Ответ: S = pr

Показать ответ

Задача 2

Середины сторон правильного восьмиугольника ABCDEFGH последовательно соединили. Какую часть площади исходного многоугольника занимает получившийся многоугольник KLMNPQRS ?
Ответ дайте в процентах, округлив до целых.

Правильные восьмиугольники являются подобными фигурами (все углы равны). Следовательно, отношение их площадей равняется отношению квадратов их сторон.
Пусть О - центр восьмиугольника ABCDEFGH. Легко доказать, что он также является центром восьмиугольника KLMNPQRS, а отрезок ОК одновременно является радиусом вписанной окружности первого из них и радиусом описанной окружности для второго. Поэтому, с одной стороны, \[OK = \frac{AB}{2\mathrm{tg}\large{{\frac{180^\circ}{n}}}},\;c\;другой - OK = \frac{KL}{2\sin\large{{\frac{180^\circ}{n}}}}.\] Таким образом, с учётом того, что n = 8 и, соответственно, 180°/n = 180°/8 = 22,5°, получим \[\frac{AB}{2\mathrm{tg}{22,5^\circ} } = \frac{KL}{2\sin{22,5^\circ}}\;\;и\;\;\frac{KL}{AB} = \frac{2\sin{22,5^\circ}}{2\mathrm{tg}{22,5^\circ}} = \cos{22,5^\circ}.\] \[\frac{S_{KLMNPQRS}}{S_{ABCDEFGH}} = \frac{KL^2}{AB^2} = \cos^2{22,5^\circ}.\] Чтобы найти значение \(\cos^2{22,5^\circ}\), нужно вспомнить формулы тригонометрии. В частности, формулы для половинного аргумента, т.к. легко заметить, что 22,5° = 45°/2. \[\cos^2{22,5^\circ} = \frac{1 + \cos{45^\circ}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}/2}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0,8536\] Таким образом, площадь меньшего восьмиугольника составляет примерно 85% от площади большего.

Примечание: Отношение сторон многоугольников можно найти иначе, например, достроить другие внутренние отрезки и рассмотреть прямоугольные треугольники.

Ответ: 85

Показать ответ

Задача 3

В круг вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти площадь круга, если радиус окружности, вписанной в треугольник ADE, равен r.

Треугольник ADE прямоугольный, так как опирается на диаметр окружности, в которую он вписан. Принимаем AD за x. Угол ADE = 60° (∠ADE = ∠СDE/2; ∠СDE = 180°·(6 − 2)/6 = 120°).
Тогда AE = x·sin60° = x·√3_/2 и DE = x·cos60° = x·1/2.

Определим площадь треугольника ADE двумя способами:
через произведение катетов \[S = \frac{{AE}\cdot{DE}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{x^2\sqrt{3}}{8}; \] и через полупериметр и заданный радиус вписанной окружности \[S = \frac{AE + DE + AD}{2}\cdot r = \frac{r}{2}\cdot \big(\frac{x\sqrt{3}}{2}+\frac{x}{2}+ x\big) = \frac{rx(\sqrt{3} + 3) }{4} \]

Теперь можно составить уравнение и решить его относительно х.
\[ \frac{x^2\sqrt{3}}{8} = \frac{rx(\sqrt{3} + 3)}{4} \] \[ \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{r(\sqrt{3} + 3)}{1} \] \[x = \frac{2r(\sqrt{3} + 3)}{\sqrt{3}} = 2r(1 + \sqrt{3})\] Так как AD = x - диаметр окружности, то её площадь можно найти по формуле \[S = \frac {\pi d^2}{4} = \frac {\pi (2r)^2 (1 + \sqrt{3})^2}{4} = \pi r^2(1 +2 \sqrt{3} + 3) = \pi r^2(4 + 2\sqrt{3}) = 2\pi r^2(2 + \sqrt{3})\]

Ответ: 2πr²(2 + √3_)

Показать ответ

Задача 4

Найти отношение площади правильного двадцатичетырёхугольника, вписанного в некоторую окружность, к площади правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность.

Пусть R - радиус окружности.
Правильный n-угольник разбивается на n равнобедренных треугольников типа AOB (AO = OB = R). Угол между равными сторонами (на рисунке угол α) равен 360°/n.
Найдём площадь одного треугольника по формуле - "произведение двух сторон треугольника, умноженное на синус угла между ними и деленное на два": \[ S_\Delta = \frac {AO\cdot OB\cdot \sin{\alpha}}{2} = \frac {R^2\cdot\sin{\alpha}}{2} = \frac {R^2}{2}\cdot\sin{\frac{360^\circ}{n}} \] Тогда площадь всего двадцатичетырёхугольника будет равна \[ S_{24} = 24\cdot\frac{R^2}{2}\cdot\sin{\frac{360^\circ}{24}} = 12R^2\sin{15^\circ}, \] а площадь всего двенадцатиугольника будет равна \[ S_{12} = 12\cdot\frac{R^2}{2}\cdot\sin{\frac{360^\circ}{12}} = 6R^2\sin{30^\circ}, \] и, соответственно, их отношение составит \[ \frac{S_{24}}{S_{12}} = \frac{12R^2\sin{15^\circ}}{6R^2\sin{30^\circ}} = \frac{2\sin{15^\circ}}{\sin{30^\circ}} = \frac{2\sin{15^\circ}}{0,5} = 4\sin{15^\circ}. \] Значение sin15° можно найти по формулам тригонометрии для половинного аргумента (15° = 30°/2) или воспользоваться калькулятором для получения примерного значения sin15° ≈ 0,26.
Таким образом, окончательно получаем \[ \frac{S_{24}}{S_{12}} = 4\sin{15^\circ} \approx 1,04\]

Ответ: 4sin15° ≈ 1,04

Показать ответ

Задача 5

Точка O - центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

Центры касающихся окружностей лежат на одной прямой с точкой касания. Поэтому, и это видно из чертежа, искомый радиус большой окружности (OK) равен диаметру маленькой.
Правильный шестиугольник разбивается на 6 правильных (равносторонних) треугольников отрезками, соединяюшими его вершины и центр. Чтобы убедиться в этом, достаточно посчитать углы треугольников.
Рассмотрим подробнее один из треугольников, например, упомянутый в условии ΔAOB. Центр окружности, описанной около этого треугольника находится на пересечении отрезков, которые в равностороннем треугольнике являются одновременно высотами, медианами и биссектрисами. Медианы любого треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, следовательно отрезок AO₁ = 2O₁H. В свою очередь отрезок AH = AC/2.
Выичисляем:
AH = 10,5/2 = 5,25; O₁H = 5,25/3 = 1,75; AO₁ = 2·1,75 = 3,5.
Так как AO₁ является радиусом маленькой окружности, то её диаметр, а значит и искомый радиус большой оуружности, равен 2·3,5 = 7.

Примечание: Если Вы не догадались использовать свойство медиан треугольника, то можно рассматривать треугольники AOC, AOH и т.п., теорему косинусов или теорему Пифагора... Ответ будет получен с чуть большим объёмом вычислений.

Ответ: 7

Показать ответ

Задача 6

Точка O - центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

Обоснование решения такое же, как в предыдущей задаче.
Искомый радиус равен OL. Рассмотрим треугольник BOD, в котором BO = 7, т.к. BO = BC, и угол BDO = 30° По теореме синусов \[\frac{BO}{\sin{\angle BDO}} = 2R, \] где R - радиус окружности, описанной вокруг ΔBDO.
\[2R = \frac{7}{\sin{30^\circ}} = \frac{7}{0,5} = 14 \] Найденный диаметр (2R) равен искомой величине.

Ответ: 14

Показать ответ

Перейти на главную страницу сайта.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь - mathematichka@yandex.ru