Желательно помнить:

Квадраты чисел от 1 до 25
Квадратные корни
Степени чисел 2, 3 и 5
Логарифмы
Значения тригонометрических функций для основных углов.
Простые числа в пределах 100
Постоянные




Квадраты чисел от 1 до 25

Конечно, необязательно зубрить столбики цифр, два числа всегда можно перемножить на бумаге или воспользоваться калькулятором. Но, чем больше значений вы будете помнить наизусть, тем быстрее будете решать простые примеры. Экономить время экзамена для более сложных заданий, это очень важно. А еще важнее "узнавать в лицо" квадраты, чтобы догадаться какие из формул сокращенного умножения можно применить.

Например, чем отличаются эти два выражения   x 2 − 259   и   x 2 − 529 ?
Тем, что первое плохо раскладывается на множители, а второе хорошо:
___ ___
x 2 − 259 = (x√259)·(x + √259) ≈ (x − 16,09347694)·(x + 16,09347694)
x 2 − 529 = (x − 23)·(x + 23)

А как об этом догадаться, если не знать, являются ли 259 и 529 квадратами целых чисел?

Итак, учим. В следующей таблице числа расположены обычным образом - по возрастанию в столбике.

Таблица квадратов, упорядоченная по возрастанию
12 = 162 = 36112 = 121162 = 256212 = 441
22 = 472 = 49122 = 144172 = 289222 = 484
32 = 982 = 64132 = 169182 = 324232 = 529
42 = 1692 = 81142 = 196192 = 361242 = 576
52 = 25102 = 100152 = 225202 = 400252 = 625

Если считаете, что выучили таблицу, хотя бы в первом приближении, то проверьте, как это повлияло на ваш устный счет.

Квадратные корни

Прежде чем переходить к заучиванию значений корней, давайте еще раз посмотрим на таблицу квадратов. Обратите внимание на то, что результаты всегда заканчиваются цифрами 1, 4, 5, 6, 9, 0 и никогда не заканчиваются цифрами 2, 3, 7, 8. Причём, 1-цу в конце дают числа, заканчивающиеся на 1 или 9, 4-ку дают 2 или 8, 9-ку дают 3 или 7, 6-ку дают 4 или 6. Если же число было кратным 5, то при возведении в квадрат последние две цифры 00 или 25.

Таблица квадратов, упорядоченная по последней цифре
12 = 122 = 432 = 942 = 1652 = 25
92 = 8182 = 6472 = 4962 = 36102 = 100
112 = 121122 = 144132 = 169142 = 196152 = 225
192 = 361182 = 324172 = 289162 = 256202 = 400
212 = 441222 = 484232 = 529242 = 576252 = 625

Если вы запомните этот вариант таблицы квадратов, то таблицу корней, фактически, можно не учить. Вы легко будете подбирать "претендента" на значение корня и быстро проверять его умножением. Для разнообразия таблицу корней упорядочим по убыванию.

Таблица квадратных корней, упорядоченная по убыванию
Таблица корней из-зa радикалов рисунком

Все три верхние таблицы надо учить вместе, а проверять взразброс.

Степени чисел 2, 3 и 5

Помнить значения степеней часто встречающихся чисел важно для быстрого решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем. Более того, если вам, например, число 81 ничего "не говорит" о том, что оно степень 3-ки, то вы и не догадаетесь, что это есть именно показательное или логарифмическое уравнение, неравенство ...
Кроме того, степени двойки особенно важно знать любителям компьютера, и тем, кто хочет лучше знать информатику, и тем, кто просто желает "полноценно" использовать своё свободное время, играя в компьютерные игры. Помните, что наши самые умные компьютеры умеют считать только до 2-ух? "Раз" = 0 - нет сигнала, "два" = 1 - есть сигнал.

Таблица степеней
20 = 126 = 6430 = 150 = 1
21 = 227 = 12831 = 351 = 5
22 = 428 = 25632 = 952 = 25
23 = 829 = 51233 = 2753 = 125
24 = 16210 = 1 02434 = 8154 = 625
25 = 32220 = 1 048 57635 = 24355 = 3 025

Обратите внимание:
20 байта = 1 байт;
210 байта = 1024 байта = 1 килобайт;
220 байта = 1048576 байта = 1024 килобайта = 1 мегабайт;
230 байта = 1073741824 байта = 1048576 килобайт = 1024 мегабайта = 1 гигабайт.

В отличие от компьютера, человек умеет считать до 10. У нас самая распространенная система счисления - десятичная. Поэтому степени десятки самые простые, я даже не стала помещать их в таблице. Сколько нулей после (или до) единицы - такая и степень.
Например:
1 миллиард рублей = 1000000000 рублей = 109 рублей;
1 нанометр = 0,000000001 метра = 10−9 метров.

Логарифмы

Логарифмирование - действие обратное по отношению к возведению в степень. Вспомним определение:
Логарифмом положительного числа x по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить x.
Поэтому, если вы уже выучили таблицу степеней, то с таблицей логарифмов проблем быть не должно. Только давайте вспомним обозначения:
  • обычное - logax,
    по определению получается, если y = logax, то ay = x ;
  • десятичный логарифм - lgx,
    это то же самое, что log10x, просто логарифм по "любимому" основанию получил "уменьшительное прозвище";
  • натуральный логарифм - lnx,
    то же самое, что logex, этот логарифм любят ученые-экспериментаторы, поэтому ему тоже дали "уменьшительное прозвище".
Таблица логарифмов
lg1 = 0lg0,1 = −1log24 = 2log39 = 2log525 = 2ln2 ≈0,7
lg10 = 1lg0,01 = −2log28 = 3log327 = 3log5125 = 3ln3 ≈1,1
lg100 = 2lg0,001 = −3log216 = 4log381 = 4log5625 = 4ln10 ≈2,3
lg1000 = 3lg0,0001 = −4log232 = 5log3243 = 5log53025 = 5

Натуральный логарифм показывает в какую степень нужно возвести иррациональное число e, чтобы получить x. Поскольку иррациональные числа бесконечны, учить их трудно, а иногда и бессмысленно. Минимум, который нужно помнить, потому что часто встречается, помещен в последней таблице. Здесь значения натурального логарифма даны, скорее для справки, чем для запоминания. Десятичный логарифм, как и положено, самый легкий - просто считаем нули.

Значения тригонометрических функций для основных углов

ФункцияУгол α
30° 45° 60° 90°
0 π/6 π/4 π/3 π/2
sinα 0 1/2 √2_/2 √3_/2 1
cosα 1 √3_/2 √2_/2 1/2 0
tgα 0 √3_/3 1 √3_
ctgα √3_ 1 √3_/30

Если Вам тяжело запомнить все значения из этой таблицы, то выучите только значения для sinα. Строка для функции cosα содержит эти же величины, но в обратном порядке. Значения tgα всегда можно вычислить по формуле sinα/cosα, а значения ctgα – как 1/tgα.
Или параллельно с заучиванием значений функций для основных углов поработайте с тригонометрическим кругом.

Простые числа в пределах 100

Если число имеет только два делителя - само число и единица, то оно называется простым. Например, 19 делится без остатка только на 19 и на 1: 19/19 = 1 и 19/1 = 19. Ответ на вопрос, зачем нужно знать простые числа, также прост - чтобы не делать бесплодных попыток найти несуществующие делители.

Таблица простых чисел
2 11 23 31 41 53 61 71 83 97
3 13 29 37 43 59 67 73 89
5 17 47 79
7 19

Обратите внимание, числа из каждого десятка расположены в одном столбике. Рекомендую так и запоминать. Постепенно. Сначала до 20, потом до 30... и, наконец, в последнем десятке только число 97.

Постоянные

В школьной математике широко используются два иррациональных числа π и e. Особенно часто втречается число π и его доли. Например, в тригонометрии угол в π/3 радиана соответствует углу 60°. Чаще всего во время вычислений мы не используем значения этих чисел, а только их символьные обозначения. Обычно, так же записываем ответ. Но при выборе корней, при решении неравенств, при любом сравнении, требуются хотя бы приблизительные численные значения. Придётся запомнить.

Таблица значений, включающих π или e
π ≈ 3,1416 π/2 ≈ 1,5708 e ≈ 2,7182
2π ≈ 6,2832 π/3 ≈ 1,0472 e2 ≈ 7,3890
3π ≈ 9,4248 π/4 ≈ 0,7854 e ≈ 1,6487
4π ≈ 12,5663 π2 ≈ 9,8696

Рекомендуемая литература: компактные справочные материалы, например, такие, как справочник "Математика" В.А. Гусева и А.Г. Мордковича или брошюра "Как готовиться к экзамену по математике" Ивлиевой E.Г.


   Перейти   на главную страницу сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.