Важная единица

1) Например, единицу можно представить в виде дроби, в которой числитель равен знаменателю. Часто этот прием позволяет значительно упростить исходное выражение. При этом не забываем, что на 0 делить нельзя, следовательно у нового выражения может быть ограничена область допустимых значений переменных.
Итак, если мы представляем единицу дробью, то вводим ограничение "знаменатель ≠ 0" (на 0 делить нельзя!).

В показанных примерах мы могли внести следующие ограничения:

x ≠ 0 и y ≠ 0;
a ≠ −b;
sinx ≠ 0, что равносильно x ≠ πn, где n Є Z;
x > 0, x ≠ 1, y > 0 (по определению логарифма)
и log_x y ≠ 0, что равносильно y ≠ 1.

Значит нужно проверить допустимы ли эти значения переменных для исходного выражения. Если да, то не являются ли какие-нибудь из них решением задачи.

---

2) Любое число в нулевой степени дает единицу. Любое из тех, которые вообще можно возводить в нулевую степень.

В связи с этим вспомним:

• Для любого числа а определена операция возведения в натуральную степень.
• Для любого числа а≠0 определена операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень.
• Для любого числа а≠0 определена операция возведения в положительную дробную степень.
• Для любого а>0 определена операция возведения в отрицательную дробную степень.
• Для любого а>0 также определена степень с иррациональным показателем.
• Для любого а>0 определена степень с действительным показателем.

Таким образом, не имеет смысла только нулевая степень числа 0.

Например, здесь запись sin⁰x = 1, не верна для x = πn, где n - произвольное целое число (n Є Z), так как в этих точках sinx = 0. Поэтому заменяя 1 на sin⁰x, мы временно исключаем из рассмотрения указанные значения x.
Подумайте, что можно сказать об остальных 3-ёх примерах?

---

3) log_aa = 1 непосредственно по определению логарифма. (Это можно понимать так: "если при возведении в степень некоторого числа получено это же число, значит возводили в первую степень".) При решении логарифмических уравнений и неравенств очень часто применяют этот приём. Это просто - заменяем единицу на логарифм с нужным основанием и таким же аргументом.

Что мы могли при этом "испортить" в ОДЗ? Скорее всего ничего, потому что, как правило, выбирается то основание логарифма, которое уже присутствует в выражении, а значит учтено в ОДЗ. Тем не менее, помним - по определению а ≠ 1 и а > 0.

Соответственно, в приведенных примерах:

x ≠ 1 и x > 0
аx ≠ 1 и аx > 0
(y + 1) ≠ 1 и (y + 1) > 0

---

4) Что касается использования формулы sin²α + cos²α = 1 в тригонометрии, то здесь проблем вообще нет. Функции sinx и cosx определены для любых значений аргумента.

---

5) То, что произведение тангенса на котангенс того же угла равно единице, тоже несложно запомнить. Однако и tg, и ctg имеют ограничения на область допустимых значений аргументов, которых, естественно, не имеет единица. Таким образом, пользуясь этой формулой, мы исключаем из рассмотрения все значения углов, для которых либо синус, либо косинус равны нулю, т.е. все значения кратные π/2. Не забудьте проверить, как ведет себя исходное выражение при этих значениях аргументов! Можно просто подставить их в условие задачи.

Итак, в приведенных примерах проверке подлежат:

α = πn/4;
φ = k/2;
x = π(m − 2)/3;

где n, k, m - целые числа.

---

6) Еще удобнее бывает представлять единицу в другой форме при вычислении числовых значений выражения. Здесь проблем с ОДЗ не возникает, и можно значительно сократить объем работы, если удачно подобрать формулу.

Рассмотрим пример:

Вычислить значение

(2 + 1)·(2² + 1)·(2⁴ + 1)·(2⁶ + 1)·(2⁸ + 1)·(2¹⁶ + 1)×
×(2³² + 1)·(2⁶⁴ + 1) : (2¹²⁸ − 1)

Решение

Умножим слева всё выражение на единицу, представленную как 2 − 1.

1·(2 + 1)·(2² + 1)·(2⁴ + 1)·... = (2 − 1)·(2 + 1)·(2² + 1)·(2⁴ + 1)·...

Замечаем, что к первым двум сомножителям можно применить одну из формул сокращенного умножения, а именно
a² − b² = (a − b)·(a + b).

(2 − 1)·(2 + 1) = (2² − 1²) = (2² − 1)

Тогда получим

(2 − 1)·(2 + 1)·(2² + 1)·(2⁴ + 1)·... = (2² − 1)·(2² + 1)·(2⁴ + 1)·...

Снова видим возможность применения этой формулы

(2² − 1)·(2² + 1) = (2⁴ − 1).

Продолжаем действовать также

(2⁴ − 1)·(2⁴ + 1) = (2⁸ − 1);
(2⁸ − 1)·(2⁸ + 1) = (2¹⁶ − 1);
(2¹⁶ − 1)·(2¹⁶ + 1) = (2³² − 1);
(2³² − 1)·(2³² + 1) = (2⁶⁴ − 1);
(2⁶⁴ − 1)·(2⁶⁴ + 1) = (2¹²⁸ − 1).

Таким образом нам удалось свернуть все сомножители до одного (2¹²⁸ − 1). В результате всё выражение приобрело вид:

(2¹²⁸ − 1) : (2¹²⁸ − 1).

Ответ очевиден.

Ответ: 1

---

Для решения задач на вычисления пользуйтесь идеями, представленными на следующей картинке.

PS: См.также брошюру "Как готовиться к экзамену по математике" Ивлиевой E.Г.