Считаем без калькулятора

Как извлечь квадратный корень.

Часто на олимпиадах и экзаменах (например, на ЕГЭ по математике) нельзя пользоваться калькулятором. Да и в быту, иногда нужно прикинуть значение квадратного корня из целого числа, не имея калькулятора под рукой. Как поступить?

1. Прежде всего, посмотрите на последнюю цифру числа, если она равна 2, 3, 7, 8, то целого корня из этого числа не существует. А если число заканчивается цифрами 1, 4, 6, 9, то последняя цифра искомого корня может быть равна, соответственно, 1 или 9, 2 или 8, 4 или 6, 3 или 7.
Если число заканчивается цифрой 5, то нужно обратить внимание на предпоследнюю цифру. Для существования целого корня она должна быть 2-кой, т.е. только те числа, которые заканчиваются на 25, могут иметь корни с окончанием 5.
Особое место в этом строю занимает 0. Если число заканчивается одним или нечетным числом нулей, то целого корня нет, если двумя или четным, то есть корень кратный 10-ти.

Заметили ли Вы некоторую симметрию в этой таблице? Подумайте, чем она обусловлена. Если не догадались, то посмотрите комментарий в конце этого раздела.

2. Разбейте число на группы (на грани) по 2 цифры справа налево. Начинайте с последней цифры. При этом, если заданное число состоит из нечетного числа цифр, то в крайней слева группе будет одна цифра, если из четного, то две.

Количество граней покажет количество цифр в ответе. В этих примерах из первых двух чисел могут быть извлечены трёхзначные корни, из последующих двух – двузначные.

3. Найдите примерное значение корня из первой (самой левой грани), т.е. наибольшую цифру, квадрат которой не превышает числа, стоящего в этой грани. Для примеров выше.

Если ваше число состоит только из двух граней, то на этом можно остановиться и проверить возможные результаты умножением в столбик. Например, корень из числа 1225 должен начинаться с 3 (мы это определили в п.3), а заканчиваться может только 5-кой (см. п.1), т.е. если из этого числа существует натуральный корень, то это может быть только 35. Корень из числа 841 должен начинаться с 2, а заканчиваться может 1-цей или 9-кой, т.е. это либо 21, либо 29. Но 21 ≈ 20 и 20² = 400, а 29 ≈ 30 и 30² = 900. Заданное число 841 ближе к 900, чем к 400, поэтому ответ предположительно 29.

Проверим.

Итак, ответы существуют, они найдены и найдены верно.
Для двузначных ответов, а более длинные числа на ЕГЭ бывают редко, всё очень просто. Не так ли?

4. Если ваше число состоит более, чем из двух граней, или вы не хотите сразу переходить к проверке, алгоритм нахождения корня продолжается следующим шагом:
- найденную первую цифру ответа возведите в квадрат и вычтите из первой грани, к разности допишите вторую грань, получится трехзначное или четырехзначное число. Обозначим его символом A.

5. Следующая цифра должна быть наибольшей, подбираемой так:
- умножаем на 2 имеющуюся часть ответа, дописываем к ней предполагающуюся цифру и умножаем полученное число на эту же цифру. То, что получилось, вычитаем из числа А. Остаток должен быть минимально возможным положительным числом.

Например, для числа 142884 (14'28'84) найдена часть ответа - первая цифра 3 и снесена вторая грань, т.е. определено A = 528. Умножаем часть ответа на 2, получим 3×2 = 6. Теперь к 6-ке справа нужно дописать "угадываемую цифру". Определяем её примерное значение:
А = 528 ≈ 500. 500:60 ≈ 8. Поэтому подбирать начинаем с 8.
528 − 68×8 = 528 − 544 < 0. Следовательно, пробуем 7.
528 − 67×7 = 528 − 469 > 0. Следующая цифра корня 7.

Если у вас образовалось столько цифр, сколько граней, и при этом остаток на этом шаге равен 0, то ответ получен. В любом случае его имеет смысл проверить умножением.
Если, цифр столько, сколько граней, но остаток не равен 0, то или была ошибка в вычислениях выше, или натурального корня из этого числа не существует. В последнем случае, если нужно всё-таки найти его значение с заданной точностью, можно добавить необходимое количество нулевых граней (00) после запятой и продолжить.
Если граней больше, чем получено цифр, то продолжаем. В двух верхних примерах нам осталось определить только последнюю цифру, сделать это можно подбором по п.1: для числа 142884 нужно проверить умножением 372 и 378, для числа 20449 проверить 143 и 147. Но мы продолжим по общему алгоритму.

6. Образуем новое число A, добавив к остатку, полученному на предыдущем шаге следующую грань. Для получения очередной цифры ответа повторяем действия 5-го шага. Этот шаг повторяем до тех пор, пока не будет получен весь ответ.
В наших примерах:

Комментарий к извлечению целых корней

x + y = 10 и y = 10 − x.

(a − b)² = a² − 2ab + b²;

y² = (10 − x)² = 10² − 2·10·x + x²;

Примеры вычисления корня.

Вычислить √6335289_______.

Будем записывать промежуточные результаты в столбик по аналогии с делением. Черновик справа от столбика.

1) Разбиваем число на грани: 6'33'52'89. Получилось 4 штуки, следовательно, ответ будет состоять из 4-ёх цифр. Первая цифра 2, так как 2² = 4 < 6, a 3² = 9 > 6.

2) Далее удваиваем имеющуюся часть ответа, определяем остаток, сносим очередную грань и подбираем следующую цифру ответа. Повторяем этот шаг до последней грани:
233:40 ≈ 5; 45×5 = 225 < 233; 46×6 = 276 > 233; следовательно, 2-я цифра 5;
852:500 ≈ 1; 501×1 = 501 < 852; 502×2 = 1004 > 852; следовательно, 3-я цифра 1.

3) Если целый корень существует, то его последней цифрой может быть либо 3, либо 7. Можем проверить 2513 и 2517 умножением в столбик. Но для многозначных чисел быстрее продолжить по общему алгоритму:
35189:5000 ≈ 7; 5027×7 = 35189 (!) Последняя цифра 7.

Ответ: 2517.

Вычислить √2304____.

Разбиваем на грани. 23'04. Следовательно, ответ из 2-ух цифр, первая цифра 4, т.к. 4² = 16 < 23, a 5² = 25 > 23. Последняя цифра либо 2, либо 8, т.к. результат умножения должен заканчиваться на 4.
Итак, 42 или 48? 42 ≈ 40; 40² = 1600. 48 ≈ 50; 50² = 2500. 2500 ближе к заданному числу, поэтому проверку умножением в столбик начинаем с 48.

Ответ: 48.

Это самый распространенный случай на ЕГЭ по математике, и я настоятельно рекомендую завершать его именно проверкой.

Вычислить √503___.

Число заканчивается тройкой. Сразу видно, что целого значения корня не получится. Зададимся вопросом, с какой точностью надо определить корень. Допустим, в условии сказано округлить ответ до сотых. Это означает, что получить его надо до тысячных, т.е. до 3-го знака после запятой. Поэтому к заданному числу нужно добавить еще 3 нулевые грани. И не забыть саму запятую!

1) Таким образом, разбиение на грани будет таким 5'03,00'00'00. Ответ будет состоять из пяти цифр - 2 до запятой и 3 после. Первая цифра равна 2 (2² = 4 < 5, 3² = 9 > 5), последнюю цифру в данном случае мы определить не можем.

2) Далее, выполняем шаги 4,5,6 общего алгоритма, как обычно:
103:40 ≈ 2; 42×2 = 84 < 103; 43×3 = 129 > 103; следовательно, 2-я цифра 2.
1900:440 ≈ 4; 444×4 = 1776 < 1900; 445×5 =2225 > 1900; следовательно, 3-я цифра 4.
12400:4480 ≈ 3; 4483×3 = 13449 > 12400; 4482×2 = 8964 < 12400; следовательно, 4-я цифра 2.
343600:44840 ≈ 8; 44848×8 = 358784 > 343600; 44847×7 = 313929 < 343600; следовательно, 5-я цифра 7.
Мы еще не получили нулевого остатка и, может быть, не получим никогда, если искомый корень иррациональное число. Но нам это и не нужно, т.к. результат уже получен с нужной для округления точностью.

По правилам округления отбрасываем 3-ю цифру после запятой, увеличив (т.к. 7 > 5) предыдущую на единицу 22,427 ≈ 22,43.

Ответ: 22,43.

Вычислить √1,5____.

Чтобы вычислить корень из десятичной дроби, нужно вспомнить, что 10² = 100 и 0,1² = 0,01. Т.е. при возведении в квадрат происходит удвоение разрядов. Соответственно, для извлечении квадратного корня из десятичной дроби нам нужно, чтобы она имела четное число цифр после запятой. В этом случае мы получим целое число граней после запятой при разбиении справа налево (с конца), а значит и целое число цифр в дробной части ответа.
Вспомним также, что к целой части числа можно дописывать сколько угодно нулей впереди, а к дробной - сколько угодно нулей в конце. Число от этого не меняется.

I способ.

Допустим, что нужно дать ответ с точностью до десятых, тогда вычислять значение этого корня нужно до второго знака после запятой. Сейчас у нас 2 цифры после запятой, т.е. одна грань, поэтому добавим еще одну нулевую грань.

1) Рабиение на грани: 1,50'00. Результат будет из 3-ёх цифр - одна до запятой и две после. Первая цифра, очевидно, 1.

2) Далее действуем по алгоритму:
50:20 ≈ 2; 22×2 = 44 < 50; 23×3 = 69 > 50; следовательно, 2-я цифра 2.
600:240 ≈2; 242×2 = 484 < 600; 243×3 =729 > 600; следовательно, 3-я цифра 2.

3) Округляем 1,22 ≈ 1,2.

Ответ: 1,2.

II способ.

Умножаем и одновременно делим наше число на 10 в четной степени ( обязательно в четной, чтобы потом легко и точно извлечь корень из знаменателя). 1,5 = 1,5 × 100/100 = 150/100. Следовательно, нужно вычислить корень из 150 и разделить его на корень из 100, т.е. на 10.

Ответ: 1,2.

Внимание: очень распространена ошибка, когда для определения примерного значения корня из 1,5 берут корень из 15. Запомним - четное количество нулей.

√10__ ≈ 3,16   √100___ = 10   √1000____ ≈ 31,62   √10000_____ = 100   √100000______ ≈ 316,23   √1000000_______ = 1000

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.